Pour trouver la dérivée de la fonction $f(x) = (1 + x + x^2 + x^3)e^{-2x} + 1$, nous utilisons la règle du produit et la règle de la somme.

Étapes de calcul :

1. Identifions les deux parties de la fonction principale :

   • $u(x) = 1 + x + x^2 + x^3$
   • $v(x) = e^{-2x}$
   • Le terme $+1$ est constant et sa dérivée est $0$.

2. Utilisons la règle du produit : $\frac{d}{dx}[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).$

3. Calculons $u'(x)$, la dérivée de $u(x) = 1 + x + x^2 + x^3$ : $u'(x) = 0 + 1 + 2x + 3x^2 = 1 + 2x + 3x^2.$

4. Calculons $v'(x)$, la dérivée de $v(x) = e^{-2x}$ : $v'(x) = -2e^{-2x}.$

5. Appliquons la règle du produit : $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).$

Substituons les expressions : $f'(x) = (1 + 2x + 3x^2)e^{-2x} + (1 + x + x^2 + x^3)(-2e^{-2x}).$

6. Simplifions $f'(x)$ : $f'(x) = (1 + 2x + 3x^2)e^{-2x} - 2(1 + x + x^2 + x^3)e^{-2x}.$

Regroupons les termes : $f'(x) = \left( (1 + 2x + 3x^2) - 2(1 + x + x^2 + x^3) \right)e^{-2x}.$

7. Simplifions l'expression entre parenthèses : $(1 + 2x + 3x^2) - 2(1 + x + x^2 + x^3) = 1 + 2x + 3x^2 - 2 - 2x - 2x^2 - 2x^3.$ $= -1 + x^2 - 2x^3.$

Donc : $f'(x) = (-1 + x^2 - 2x^3)e^{-2x}.$

Résultat final :

$f'(x) = (-1 + x^2 - 2x^3)e^{-2x}.$

Souhaitez-vous une explication détaillée pour une étape spécifique ?

Questions supplémentaires :

1. Comment appliquer la règle du produit dans des cas plus complexes ?
2. Pourquoi la dérivée exponentielle est-elle proportionnelle à elle-même ?
3. Comment gérer les termes constants dans une fonction ?
4. Peut-on factoriser davantage le résultat final ?
5. Quels autres outils permettent de vérifier les dérivées ?

Astuce : Vérifiez vos calculs de dérivées en développant ou en factorisant si possible. Cela aide à simplifier les expressions pour éviter des erreurs.