Kita akan menentukan apakah pernyataan berikut adalah tautologi tanpa menggunakan tabel kebenaran:

$((p \land \neg q) \lor (q \lor \neg p)) \land ((p \land \neg q) \lor (q \lor \neg p))$

Langkah 1: Penyederhanaan

Perhatikan bahwa kedua bagian pernyataan dihubungkan dengan konjungsi ($\land$), namun kedua bagian tersebut identik: $((p \land \neg q) \lor (q \lor \neg p)) \land ((p \land \neg q) \lor (q \lor \neg p)) \equiv ((p \land \neg q) \lor (q \lor \neg p)).$

Artinya, kita hanya perlu menganalisis pernyataan tunggal berikut: $(p \land \neg q) \lor (q \lor \neg p).$

Langkah 2: Pecah Menjadi Kasus

Sekarang, kita akan menganalisis kemungkinan nilai kebenaran pernyataan tersebut dengan menguraikan logika dari setiap komponennya:

1. Kasus $p \land \neg q$:

   • Jika $p$ bernilai benar dan $q$ bernilai salah, maka $(p \land \neg q)$ akan benar. Hal ini cukup membuat seluruh pernyataan benar.

2. Kasus $q \lor \neg p$:

   • Jika $q$ bernilai benar, maka seluruh pernyataan benar tanpa memedulikan nilai lainnya.
   • Jika $q$ salah, maka $\neg p$ harus benar untuk membuat $(q \lor \neg p)$ benar.

Dari dua analisis di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa pernyataan akan selalu bernilai benar untuk semua kombinasi nilai $p$ dan $q$.

Langkah 3: Kesimpulan

Karena pernyataan selalu bernilai benar tanpa peduli nilai $p$ dan $q$, maka pernyataan tersebut adalah tautologi.

---

Apakah penjelasan ini cukup jelas? 😊

Berikut 5 pertanyaan terkait yang dapat membantu pemahaman:

1. Apa itu tautologi dalam logika proposisional?
2. Bagaimana cara lain untuk menyederhanakan logika tanpa tabel kebenaran?
3. Apa perbedaan antara tautologi dan kontradiksi?
4. Mengapa $p \lor \neg p$ selalu tautologi?
5. Bagaimana cara menggunakan hukum distributif untuk menyederhanakan proposisi?

Tip: Jika Anda menemui proposisi kompleks, coba pecah menjadi bagian kecil untuk analisis lebih mudah!