Tentukan kedudukan garis X - 2 Y + 2 = 0 terhadap lingkaran x² + y² + 8 x -12 y + 34 = 0 Jika garis memotong atau menyinggung lingkaran maka tentukanlah titik nya

Untuk menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran dan, jika diperlukan, menemukan titik potong atau titik singgung, kita akan mengikuti langkah-langkah berikut:

### Langkah 1: Identifikasi Persamaan Garis dan Lingkaran
Persamaan garis yang diberikan adalah:
\[
X - 2Y + 2 = 0
\]
Persamaan ini dapat kita tulis ulang dalam bentuk \(Y\) sebagai fungsi dari \(X\):
\[
Y = \frac{1}{2}X + 1
\]

Persamaan lingkaran yang diberikan adalah:
\[
x^2 + y^2 + 8x - 12y + 34 = 0
\]
Kita dapat menulis ulang persamaan lingkaran dalam bentuk umum dengan melengkapkan kuadrat.

### Langkah 2: Menyelesaikan Persamaan Lingkaran
Untuk mendapatkan bentuk standar lingkaran, kita harus melengkapkan kuadrat pada \(x\) dan \(y\):
\[
x^2 + 8x + y^2 - 12y = -34
\]

Melengkapkan kuadrat untuk \(x\) dan \(y\):
\[
(x + 4)^2 - 16 + (y - 6)^2 - 36 = -34
\]
\[
(x + 4)^2 + (y - 6)^2 = 18
\]

Jadi, bentuk standar lingkarannya adalah:
\[
(x + 4)^2 + (y - 6)^2 = 18
\]
Ini menunjukkan lingkaran dengan pusat di \((-4, 6)\) dan jari-jari \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\).

### Langkah 3: Menentukan Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran
Untuk menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran, kita hitung jarak dari pusat lingkaran ke garis, dan bandingkan dengan jari-jari lingkaran.

Rumus jarak dari titik \((x_1, y_1)\) ke garis \(Ax + By + C = 0\) adalah:
\[
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
Di sini \(A = 1\), \(B = -2\), \(C = 2\), dan pusat lingkaran \((-4, 6)\).

Maka, jarak dari pusat lingkaran ke garis adalah:
\[
d = \frac{|(1)(-4) + (-2)(6) + 2|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-4 - 12 + 2|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|-14|}{\sqrt{5}} = \frac{14}{\sqrt{5}} \approx 6,26
\]

Jari-jari lingkaran \(r = 3\sqrt{2} \approx 4,24\).

### Langkah 4: Menentukan Kedudukan Garis
Karena \(d > r\), maka garis tersebut **tidak memotong** atau **menyinggung** lingkaran. Artinya, garis dan lingkaran **tidak berpotongan**.

### Kesimpulan:
Garis \(X - 2Y + 2 = 0\) berada di luar lingkaran \(x^2 + y^2 + 8x - 12y + 34 = 0\) dan tidak menyinggung maupun memotong lingkaran tersebut.

Apakah Anda ingin rincian lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? Berikut lima pertanyaan lanjutan yang mungkin relevan:

1. Bagaimana jika jari-jari lingkarannya berbeda?
2. Bagaimana jika pusat lingkarannya berubah?
3. Bagaimana cara menghitung jarak antara dua titik pada bidang koordinat?
4. Bagaimana jika garis tersebut dirotasi?
5. Bagaimana cara menentukan titik singgung jika garis menyinggung lingkaran?

**Tip:** Mengingat rumus jarak dari titik ke garis sangat penting dalam menentukan posisi relatif antara garis dan lingkaran.

Learn how to determine the position of the line X - 2Y + 2 = 0 relative to the circle x² + y² + 8x - 12y + 34 = 0 with step-by-step calculations. Explore the distance from point to line formula and its application in geometry.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation