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Quiero que me ayudes con lo siguiente que ésta en la foto son ejercicios de matemáticas, Resuélvelo de la forma correcta de manera detallado todo el procedimiento paso a paso, y explica de donde sale cada cosa y también menciona las fórmulas a ocupar bien estructurado todo, que sea un método mucho más fácil sencilla y rápida de solucionar, claro su respuesta correcta. debes de resolverlo todos completo todo el ejercicio del 15, sin interrupciones de nada.

Para resolver el ejercicio 15 de la imagen, tenemos que determinar cuáles de los siguientes vectores son paralelos o no paralelos al vector \( \vec{u} = (3, 2, -5) \).

**Paso 1: Recordemos la condición de paralelismo de vectores:**

Dos vectores son paralelos si y solo si uno es un múltiplo escalar del otro. Es decir, dos vectores \( \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) \) y \( \vec{b} = (b_1, b_2, b_3) \) son paralelos si existe un número escalar \( k \) tal que:

\[
\vec{a} = k \cdot \vec{b}
\]

Esto se traduce en que las componentes correspondientes de los vectores deben cumplir:

\[
\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}
\]

**Paso 2: Aplicamos esto a cada uno de los vectores dados en el ejercicio.**

### a) \( \vec{v}_a = (-6, -4, 10) \)

Comprobamos si existe un escalar \( k \) tal que \( \vec{v}_a = k \cdot \vec{u} \). Para ello, planteamos las siguientes igualdades:

\[
\frac{-6}{3} = \frac{-4}{2} = \frac{10}{-5}
\]

Resolvemos cada una:

\[
\frac{-6}{3} = -2, \quad \frac{-4}{2} = -2, \quad \frac{10}{-5} = -2
\]

Dado que los tres cocientes son iguales, podemos concluir que el vector \( \vec{v}_a \) **es paralelo** a \( \vec{u} \).

### b) \( \vec{v}_b = (6, 4, 10) \)

Comprobamos si \( \vec{v}_b \) es un múltiplo de \( \vec{u} \):

\[
\frac{6}{3} = \frac{4}{2} = \frac{10}{-5}
\]

Resolvemos cada cociente:

\[
\frac{6}{3} = 2, \quad \frac{4}{2} = 2, \quad \frac{10}{-5} = -2
\]

Los dos primeros cocientes son iguales, pero el tercero no. Por lo tanto, el vector \( \vec{v}_b \) **no es paralelo** a \( \vec{u} \).

### c) \( \vec{v}_c = (1, -4, 2) \)

Comprobamos si \( \vec{v}_c \) es un múltiplo de \( \vec{u} \):

\[
\frac{1}{3}, \quad \frac{-4}{2}, \quad \frac{2}{-5}
\]

Calculamos cada uno:

\[
\frac{1}{3} \neq \frac{-4}{2} \quad \text{y} \quad \frac{1}{3} \neq \frac{2}{-5}
\]

Dado que los cocientes no son iguales, el vector \( \vec{v}_c \) **no es paralelo** a \( \vec{u} \).

### d) \( \vec{v}_d = \left(2, \frac{4}{3}, -\frac{10}{3}\right) \)

Comprobamos si \( \vec{v}_d \) es un múltiplo de \( \vec{u} \):

\[
\frac{2}{3}, \quad \frac{\frac{4}{3}}{2}, \quad \frac{-\frac{10}{3}}{-5}
\]

Calculamos cada uno:

\[
\frac{2}{3}, \quad \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, \quad \frac{-\frac{10}{3}}{-5} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}
\]

Dado que los tres cocientes son iguales, podemos concluir que el vector \( \vec{v}_d \) **es paralelo** a \( \vec{u} \).

**Paso 3: Respuesta final**

- El vector \( \vec{v}_a \) **es paralelo** a \( \vec{u} \).
- El vector \( \vec{v}_b \) **no es paralelo** a \( \vec{u} \).
- El vector \( \vec{v}_c \) **no es paralelo** a \( \vec{u} \).
- El vector \( \vec{v}_d \) **es paralelo** a \( \vec{u} \).

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¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna duda sobre el procedimiento?

Aquí hay algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué sucede si los vectores tienen más de tres componentes? ¿Cómo se verifica el paralelismo en ese caso?
2. ¿Cuál es la diferencia entre dos vectores perpendiculares y dos vectores paralelos?
3. ¿Cómo se puede comprobar el paralelismo de vectores en el espacio tridimensional utilizando el producto cruzado?
4. ¿Qué implicaciones tiene el escalar \( k \) en la dirección de los vectores?
5. ¿Cómo se relaciona el paralelismo de vectores con el concepto de colinealidad?

**Tip:** Si dos vectores no son paralelos, es posible que sean ortogonales o tengan un ángulo distinto de cero.

Quiero que me ayudes con lo siguiente que está en la foto son ejercicios de matemáticas, Resuélvelo de la forma correcta de manera detallada, todo el procedimiento paso a paso, y explica de dónde sale cada cosa, y también menciona las fórmulas a ocupar bien estructurado todo, que sea un método mucho más fácil, sencillo y rápido de solucionar, claro su respuesta correcta.

Solve the problem of determining which vectors are parallel to u = (3,2,-5) by checking if each vector is a scalar multiple of u. Follow the detailed step-by-step solution, suitable for students in Grades 10-12, covering vector algebra and scalar multiples.

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