Math Problem Statement

Który z wektorów u⃗ =[3/2,−1/2],v⃗ =[−9/2,3],w⃗ =[2/3,1],z⃗ =[2,−3] jest równoległy do wektora p⃗ =[3,−2]

Solution

Aby określić, który z wektorów jest równoległy do wektora p=[3,2]\mathbf{p} = [3, -2], musimy sprawdzić, który z wektorów u\mathbf{u}, v\mathbf{v}, w\mathbf{w} lub z\mathbf{z} jest skalarnym wielokrotnością wektora p\mathbf{p}. Oznacza to, że wektor a=[a1,a2]\mathbf{a} = [a_1, a_2] jest równoległy do wektora b=[b1,b2]\mathbf{b} = [b_1, b_2] wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skalar kk, takie że:

a1=kb1oraza2=kb2a_1 = k \cdot b_1 \quad \text{oraz} \quad a_2 = k \cdot b_2

Sprawdzimy teraz, który z podanych wektorów jest równoległy do p\mathbf{p}.

Wektor u=[32,12]\mathbf{u} = \left[ \frac{3}{2}, -\frac{1}{2} \right]:

Sprawdzamy, czy istnieje skalar kk, taki że: 32=k3oraz12=k(2)\frac{3}{2} = k \cdot 3 \quad \text{oraz} \quad -\frac{1}{2} = k \cdot (-2)

Rozwiązujemy obie równości: k=32÷3=12k = \frac{3}{2} \div 3 = \frac{1}{2} k=12÷(2)=14k = -\frac{1}{2} \div (-2) = \frac{1}{4}

Widzimy, że nie istnieje taki sam skalar kk, więc u\mathbf{u} nie jest równoległy do p\mathbf{p}.

Wektor v=[92,3]\mathbf{v} = \left[ -\frac{9}{2}, 3 \right]:

Sprawdzamy, czy istnieje skalar kk, taki że: 92=k3oraz3=k(2)-\frac{9}{2} = k \cdot 3 \quad \text{oraz} \quad 3 = k \cdot (-2)

Rozwiązujemy obie równości: k=92÷3=32k = -\frac{9}{2} \div 3 = -\frac{3}{2} k=3÷(2)=32k = 3 \div (-2) = -\frac{3}{2}

W obu przypadkach k=32k = -\frac{3}{2}, więc wektor v\mathbf{v} jest równoległy do p\mathbf{p}.

Wektor w=[23,1]\mathbf{w} = \left[ \frac{2}{3}, 1 \right]:

Sprawdzamy, czy istnieje skalar kk, taki że: 23=k3oraz1=k(2)\frac{2}{3} = k \cdot 3 \quad \text{oraz} \quad 1 = k \cdot (-2)

Rozwiązujemy obie równości: k=23÷3=29k = \frac{2}{3} \div 3 = \frac{2}{9} k=1÷(2)=12k = 1 \div (-2) = -\frac{1}{2}

Widzimy, że nie istnieje taki sam skalar kk, więc w\mathbf{w} nie jest równoległy do p\mathbf{p}.

Wektor z=[2,3]\mathbf{z} = [2, -3]:

Sprawdzamy, czy istnieje skalar kk, taki że: 2=k3oraz3=k(2)2 = k \cdot 3 \quad \text{oraz} \quad -3 = k \cdot (-2)

Rozwiązujemy obie równości: k=2÷3k = 2 \div 3 k=3÷(2)=32k = -3 \div (-2) = \frac{3}{2}

Ponieważ kk nie jest taki sam w obu przypadkach, wektor z\mathbf{z} nie jest równoległy do p\mathbf{p}.

Wniosek:

Zatem wektor v=[92,3]\mathbf{v} = \left[ -\frac{9}{2}, 3 \right] jest równoległy do wektora p=[3,2]\mathbf{p} = [3, -2].


Chciałbyś dalsze szczegóły w tym temacie? Oto pytania, które mogą rozwinąć tę tematykę:

  1. Jakie są inne metody sprawdzania równoległości wektorów?
  2. Jak znaleźć wektory ortogonalne do danego wektora?
  3. Jak obliczyć iloczyn wektorowy dwóch wektorów w przestrzeni trójwymiarowej?
  4. Jakie są zastosowania wektorów równoległych w geometrii analitycznej?
  5. Jak obliczyć kąt między dwoma wektorami?

Tip: Pamiętaj, że wektory są równoległe, gdy są skalarnymi wielokrotnościami siebie. Jeśli znajdziesz taki sam skalar kk dla obu składowych, to wektory są równoległe.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Vector Algebra
Parallelism of Vectors
Scalar Multiplication

Formulas

For vectors a⃗ = [a1, a2] and b⃗ = [b1, b2], a⃗ is parallel to b⃗ if there exists a scalar k such that a1 = k * b1 and a2 = k * b2

Theorems

Parallelism Criterion for Vectors

Suitable Grade Level

Grades 9-12