Aby ustalić, który z wektorów $\mathbf{u} = [32, -12]$, $\mathbf{v} = [-92, 3]$, $\mathbf{w} = [23, 1]$, $\mathbf{z} = [2, -3]$ jest równoległy do $\mathbf{p} = [3, -2]$, musimy sprawdzić, czy istnieje skalar $k$, taki że:

$\mathbf{p} = k \cdot \mathbf{x},$

gdzie $\mathbf{x}$ to kolejno $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$, $\mathbf{w}$, lub $\mathbf{z}$.

Dwa wektory są równoległe, jeśli stosunki ich współrzędnych są równe, czyli:

$\frac{p_1}{x_1} = \frac{p_2}{x_2}.$

Sprawdźmy wektory po kolei:

1. Wektor $\mathbf{u} = [32, -12]$:

$\frac{p_1}{u_1} = \frac{3}{32}, \quad \frac{p_2}{u_2} = \frac{-2}{-12} = \frac{1}{6}.$ $\frac{3}{32} \neq \frac{1}{6}$, więc $\mathbf{u}$ nie jest równoległy do $\mathbf{p}$.

---

2. Wektor $\mathbf{v} = [-92, 3]$:

$\frac{p_1}{v_1} = \frac{3}{-92}, \quad \frac{p_2}{v_2} = \frac{-2}{3}.$ $\frac{3}{-92} \neq \frac{-2}{3}$, więc $\mathbf{v}$ nie jest równoległy do $\mathbf{p}$.

---

3. Wektor $\mathbf{w} = [23, 1]$:

$\frac{p_1}{w_1} = \frac{3}{23}, \quad \frac{p_2}{w_2} = \frac{-2}{1} = -2.$ $\frac{3}{23} \neq -2$, więc $\mathbf{w}$ nie jest równoległy do $\mathbf{p}$.

---

4. Wektor $\mathbf{z} = [2, -3]$:

$\frac{p_1}{z_1} = \frac{3}{2}, \quad \frac{p_2}{z_2} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}.$ $\frac{3}{2} = \frac{2}{3}$ jest fałszywe, więc $\mathbf{z}$ również nie jest równoległy do $\mathbf{p}$.

---

Wniosek:

Żaden z podanych wektorów nie jest równoległy do $\mathbf{p}$.

---

Czy chcesz, abym podał szczegółowe objaśnienia lub wykres, aby lepiej to zobrazować?
5 pytania do zgłębienia tematu:

1. Jak obliczyć kąt między dwoma wektorami?
2. Czym różni się równoległość od prostopadłości wektorów?
3. Jak wyznaczyć współliniowość punktów na podstawie ich wektorów?
4. Jakie są inne sposoby porównywania wektorów (np. iloczyn skalarny)?
5. Jak znaleźć długość wektora w przestrzeni 2D lub 3D?

Tip: Wektory równoległe zawsze mają proporcjonalne współrzędne, niezależnie od ich długości.