Para determinar si dos planos son paralelos o perpendiculares, analizaremos sus vectores normales. Recordemos que:

1. Dos planos son paralelos si sus vectores normales son proporcionales (uno es un múltiplo escalar del otro).
2. Dos planos son perpendiculares si el producto escalar de sus vectores normales es cero.

A continuación, determinamos el vector normal para cada uno de los planos dados.

Vectores normales de los planos

Dado un plano de la forma $Ax + By + Cz = D$, su vector normal es $\vec{n} = (A, B, C)$.

1. $4x - y + 3z = 1$ tiene vector normal $\vec{n_1} = (4, -1, 3)$.
2. $2x + 4y + 4z = 7$ tiene vector normal $\vec{n_2} = (2, 4, 4)$.
3. $2x + 2y - 3z = 5$ tiene vector normal $\vec{n_3} = (2, 2, -3)$.
4. $5x - 2y - 4z = 10$ tiene vector normal $\vec{n_4} = (5, -2, -4)$.
5. $-8x - 8y + 12z = 4$ tiene vector normal $\vec{n_5} = (-8, -8, 12)$.
6. $-2x + y - 3z = 7$ tiene vector normal $\vec{n_6} = (-2, 1, -3)$.

Verificación de paralelismo

Para verificar si dos planos son paralelos, debemos verificar si los vectores normales son proporcionales. Es decir, existen $k \in \mathbb{R}$ tal que $\vec{n_i} = k \vec{n_j}$.

1. Comparando $\vec{n_2} = (2, 4, 4)$ y $\vec{n_5} = (-8, -8, 12)$: $\vec{n_2} \text{ y } \vec{n_5} \text{ no son proporcionales.}$