Dados los siguientes planos determine cu ́ales son perpendiculares y cu ́ales son

paralelos, usar todas las combinaciones posibles entre los planos.

1. 4x − y + 3z = 1

2. 2x + 4y + 4z = 7

3. 2x + 2y − 3z = 5

4. 5x − 2y − 4z = 10

5. −8x − 8y + 12z = 4

6. −2x + y − 3z = 7

Para determinar si dos planos son paralelos o perpendiculares, analizaremos sus vectores normales. Recordemos que:

1. **Dos planos son paralelos** si sus vectores normales son proporcionales (uno es un múltiplo escalar del otro).
2. **Dos planos son perpendiculares** si el producto escalar de sus vectores normales es cero.

A continuación, determinamos el vector normal para cada uno de los planos dados.

### Vectores normales de los planos
Dado un plano de la forma \( Ax + By + Cz = D \), su vector normal es \( \vec{n} = (A, B, C) \).

1. \( 4x - y + 3z = 1 \)  tiene vector normal \( \vec{n_1} = (4, -1, 3) \).
2. \( 2x + 4y + 4z = 7 \) tiene vector normal \( \vec{n_2} = (2, 4, 4) \).
3. \( 2x + 2y - 3z = 5 \) tiene vector normal \( \vec{n_3} = (2, 2, -3) \).
4. \( 5x - 2y - 4z = 10 \) tiene vector normal \( \vec{n_4} = (5, -2, -4) \).
5. \( -8x - 8y + 12z = 4 \) tiene vector normal \( \vec{n_5} = (-8, -8, 12) \).
6. \( -2x + y - 3z = 7 \) tiene vector normal \( \vec{n_6} = (-2, 1, -3) \).

### Verificación de paralelismo
Para verificar si dos planos son paralelos, debemos verificar si los vectores normales son proporcionales. Es decir, existen \( k \in \mathbb{R} \) tal que \( \vec{n_i} = k \vec{n_j} \).

1. Comparando \( \vec{n_2} = (2, 4, 4) \) y \( \vec{n_5} = (-8, -8, 12) \):
   \[
   \vec{n_2} \text{ y } \vec{n_5} \text{ no son proporcionales.}
   \]



Dados los siguientes planos determine cuáles son perpendiculares y cuáles son paralelos, usar todas las combinaciones posibles entre los planos.

1. 4x − y + 3z = 1

2. 2x + 4y + 4z = 7

3. 2x + 2y − 3z = 5

4. 5x − 2y − 4z = 10

5. −8x − 8y + 12z = 4

6. −2x + y − 3z = 7

Identify which of the given plane equations are parallel or perpendicular by analyzing normal vectors. Understand concepts like vector analysis and plane parallelism for grades 11-12.

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