Mari kita selesaikan soal nomor 85 dari gambar pertama.

Soal nomor 85 menyatakan:

$f(x) = \frac{x + 3}{x - 1}$

Kita diminta untuk menentukan interval di mana fungsi tersebut turun.

Langkah 1: Mencari Turunan Fungsi

Untuk menentukan interval di mana fungsi tersebut menurun, kita perlu mencari turunan pertama dari $f(x)$. Fungsi $f(x)$ dapat kita turunkan menggunakan aturan turunan untuk fungsi rasional.

Fungsi yang diberikan adalah:

$f(x) = \frac{x + 3}{x - 1}$

Gunakan aturan turunan untuk fungsi berbentuk $\frac{u(x)}{v(x)}$, yaitu:

$f'(x) = \frac{v(x) \cdot u'(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2}$

Untuk fungsi kita:

• $u(x) = x + 3$, sehingga $u'(x) = 1$
• $v(x) = x - 1$, sehingga $v'(x) = 1$

Substitusikan ke dalam rumus turunan:

$f'(x) = \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 3) \cdot 1}{(x - 1)^2}$

Sederhanakan:

$f'(x) = \frac{(x - 1) - (x + 3)}{(x - 1)^2}$

$f'(x) = \frac{x - 1 - x - 3}{(x - 1)^2}$

$f'(x) = \frac{-4}{(x - 1)^2}$

Langkah 2: Menentukan Interval Turunnya Fungsi

Turunan pertama $f'(x) = \frac{-4}{(x - 1)^2}$. Karena penyebutnya merupakan kuadrat, $(x - 1)^2$ selalu positif kecuali di $x = 1$, di mana fungsi tak terdefinisi (asymptote vertikal).

Nilai $f'(x)$ selalu negatif untuk semua $x \neq 1$, yang berarti bahwa fungsi selalu menurun kecuali di titik $x = 1$, di mana ada asimtot vertikal.

Langkah 3: Menentukan Jawaban

Karena $f'(x) < 0$ untuk semua $x \neq 1$, fungsi ini menurun di interval:

$(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$

Jadi, jawaban yang benar adalah B. $x < 1$ atau $x > 1$.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau memiliki pertanyaan lebih lanjut? Berikut 5 pertanyaan terkait untuk memperdalam pemahaman:

1. Bagaimana cara menentukan apakah fungsi meningkat atau menurun dari tanda turunan pertama?
2. Mengapa turunan $f'(x)$ negatif untuk semua $x \neq 1$?
3. Apa arti dari asimtot vertikal pada fungsi rasional?
4. Bagaimana cara mencari turunan fungsi yang lebih kompleks?
5. Apa yang terjadi pada fungsi $f(x)$ di sekitar $x = 1$?

Tip: Saat menentukan interval naik atau turun, fokuslah pada tanda dari turunan pertama untuk seluruh domain fungsi, kecuali pada titik-titik di mana fungsi tak terdefinisi atau tidak kontinu.