Math Problem Statement

Определите тип кривой второго порядка

r=4/(3–2cosφ)

Выберите один ответ:

  1. парабола

  2. гипербола

  3. эллипс

  4. окружность

Solution

Для определения типа кривой второго порядка, представленной в полярной системе координат, рассмотрим уравнение:

r=432cosφ.r = \frac{4}{3 - 2\cos\varphi}.

Общий подход:

Кривая второго порядка в полярной системе координат имеет вид:

r=p1+ecosφ,r = \frac{p}{1 + e\cos\varphi},

где:

  • pp — фокальный параметр,
  • ee — эксцентриситет (характеризует форму кривой).

Тип кривой определяется эксцентриситетом ee:

  1. e=0e = 0: окружность,
  2. 0<e<10 < e < 1: эллипс,
  3. e=1e = 1: парабола,
  4. e>1e > 1: гипербола.

Преобразование уравнения:

Уравнение можно переписать в стандартной форме: r=432cosφ=4232cosφ=232cosφ.r = \frac{4}{3 - 2\cos\varphi} = \frac{\frac{4}{2}}{\frac{3}{2} - \cos\varphi} = \frac{2}{\frac{3}{2} - \cos\varphi}. Здесь e=232=43e = \frac{2}{\frac{3}{2}} = \frac{4}{3}.

Вывод:

Поскольку e=43>1e = \frac{4}{3} > 1, данная кривая является гиперболой.

Правильный ответ: 2. гипербола.


Хотите разобрать другие примеры или детали?

Дополнительные вопросы:

  1. Как определить тип кривой второго порядка по эксцентриситету?
  2. Как преобразовать уравнение в полярной форме к стандартной?
  3. Чем гипербола отличается от эллипса в геометрии?
  4. Какие примеры кривых второго порядка встречаются в природе?
  5. Как влияет фокальный параметр pp на форму кривой?

Совет:
При анализе кривых всегда ищите связь между уравнением в полярной системе и стандартной формой для упрощения.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Polar Coordinates
Conic Sections
Eccentricity

Formulas

r = p / (1 + e * cosφ)
Eccentricity formula: e = numerator / denominator derived from the polar equation

Theorems

Classification of Conic Sections by Eccentricity

Suitable Grade Level

Grades 10-12