Задача: Построить кривую в полярной системе координат, заданную уравнением $r = 2(2 + \cos \varphi)$.

Решение:

1. Анализ уравнения: Уравнение задано в полярной системе координат. Общее уравнение имеет вид $r = r(\varphi)$, где $r$ — радиус, а $\varphi$ — угол в полярной системе координат. В данном случае у нас есть: $r = 2(2 + \cos \varphi)$ Это уравнение можно преобразовать следующим образом: $r = 4 + 2\cos \varphi$

2. Тип кривой: Уравнение вида $r = a + b\cos\varphi$ описывает кардиоиду (если $a = b$) или смещённую окружность. В данном случае $r = 4 + 2\cos\varphi$ представляет собой окружность, смещённую относительно начала координат.

3. Определение параметров окружности: Уравнение $r = 4 + 2\cos\varphi$ можно интерпретировать как окружность с центром, смещённым на расстояние $\frac{b}{2a} = \frac{2}{2} = 1$ от начала координат. Центр окружности будет находиться в точке $(x_0, y_0) = (1, 0)$ в декартовой системе координат, а радиус окружности $R = \frac{a + b}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3$.

4. Построение кривой: Чтобы построить окружность в полярной системе координат, нужно учитывать смещение центра. Начертите окружность радиусом $R = 3$ с центром в точке $(1, 0)$.

5. Проверка краевых значений:

   • При $\varphi = 0$: $r = 4 + 2\cos(0) = 4 + 2 = 6$
   • При $\varphi = \pi$: $r = 4 + 2\cos(\pi) = 4 - 2 = 2$ Это показывает, что $r$ меняется от 2 до 6, что соответствует окружности радиусом 3, смещённой на 1 единицу.

Заключение: Кривая, заданная уравнением $r = 4 + 2\cos\varphi$, представляет собой окружность с радиусом 3, центр которой смещён на 1 единицу по оси $x$ в положительном направлении.

---

Есть ли у вас вопросы по решению?

Вот 5 вопросов для дальнейшего изучения:

1. Как преобразовать уравнение полярной координаты в декартову систему координат?
2. Как влияет знак функции $\cos\varphi$ на вид графика?
3. Как построить окружность в полярной системе координат?
4. Какие ещё кривые можно описать с помощью уравнения $r = a + b\cos\varphi$?
5. В каких случаях уравнение $r = a + b\cos\varphi$ описывает кардиоиду?

Совет: В полярной системе координат радиус $r$ может быть отрицательным, что соответствует противоположному направлению угла $\varphi$.