https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1724771060629rutqybc6.jpg

Напиши полное решение на русском языке задачи с картинки

**Задача:**
Построить кривую в полярной системе координат, заданную уравнением \( r = 2(2 + \cos \varphi) \).

**Решение:**

1. **Анализ уравнения:**
   Уравнение задано в полярной системе координат. Общее уравнение имеет вид \( r = r(\varphi) \), где \( r \) — радиус, а \( \varphi \) — угол в полярной системе координат.
   В данном случае у нас есть:
   \[
   r = 2(2 + \cos \varphi)
   \]
   Это уравнение можно преобразовать следующим образом:
   \[
   r = 4 + 2\cos \varphi
   \]

2. **Тип кривой:**
   Уравнение вида \( r = a + b\cos\varphi \) описывает кардиоиду (если \( a = b \)) или смещённую окружность. В данном случае \( r = 4 + 2\cos\varphi \) представляет собой окружность, смещённую относительно начала координат.

3. **Определение параметров окружности:**
   Уравнение \( r = 4 + 2\cos\varphi \) можно интерпретировать как окружность с центром, смещённым на расстояние \( \frac{b}{2a} = \frac{2}{2} = 1 \) от начала координат.
   Центр окружности будет находиться в точке \( (x_0, y_0) = (1, 0) \) в декартовой системе координат, а радиус окружности \( R = \frac{a + b}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \).

4. **Построение кривой:**
   Чтобы построить окружность в полярной системе координат, нужно учитывать смещение центра. Начертите окружность радиусом \( R = 3 \) с центром в точке \( (1, 0) \).

5. **Проверка краевых значений:**
   - При \( \varphi = 0 \):
     \[
     r = 4 + 2\cos(0) = 4 + 2 = 6
     \]
   - При \( \varphi = \pi \):
     \[
     r = 4 + 2\cos(\pi) = 4 - 2 = 2
     \]
   Это показывает, что \( r \) меняется от 2 до 6, что соответствует окружности радиусом 3, смещённой на 1 единицу.

**Заключение:**
Кривая, заданная уравнением \( r = 4 + 2\cos\varphi \), представляет собой окружность с радиусом 3, центр которой смещён на 1 единицу по оси \( x \) в положительном направлении.

---

Есть ли у вас вопросы по решению? 

Вот 5 вопросов для дальнейшего изучения:

1. Как преобразовать уравнение полярной координаты в декартову систему координат?
2. Как влияет знак функции \( \cos\varphi \) на вид графика?
3. Как построить окружность в полярной системе координат?
4. Какие ещё кривые можно описать с помощью уравнения \( r = a + b\cos\varphi \)?
5. В каких случаях уравнение \( r = a + b\cos\varphi \) описывает кардиоиду?

**Совет:** В полярной системе координат радиус \( r \) может быть отрицательным, что соответствует противоположному направлению угла \( \varphi \).

Explore the construction of a polar curve described by the equation r = 4 + 2cos(φ). Learn about polar coordinates, transformations to Cartesian coordinates, and the properties of cardioids and circles. Suitable for high school students studying advanced geometry and trigonometry.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation