Math Problem Statement

Ubah persamaan berikut ke dalam bentuk kartesius dan tentukan jenis bangunnya.

r ^ 2 * (9cos theta - 4sin theta) = 36

Solution

Untuk mengubah persamaan r2(9cosθ4sinθ)=36r^2 (9 \cos \theta - 4 \sin \theta) = 36 ke dalam bentuk kartesius, kita dapat menggunakan identitas berikut dalam koordinat polar:

x=rcosθdany=rsinθx = r \cos \theta \quad \text{dan} \quad y = r \sin \theta r2=x2+y2r^2 = x^2 + y^2

Langkah 1: Ubah dalam Bentuk rr dan θ\theta

Mulai dari persamaan awal: r2(9cosθ4sinθ)=36r^2 (9 \cos \theta - 4 \sin \theta) = 36

Kemudian, substitusi r2=x2+y2r^2 = x^2 + y^2, cosθ=xr\cos \theta = \frac{x}{r}, dan sinθ=yr\sin \theta = \frac{y}{r}.

Langkah 2: Gantikan Nilai cosθ\cos \theta dan sinθ\sin \theta

Dengan mengganti cosθ\cos \theta dan sinθ\sin \theta dalam persamaan, kita peroleh: (x2+y2)(9xr4yr)=36(x^2 + y^2) \left(9 \frac{x}{r} - 4 \frac{y}{r}\right) = 36

Karena r=x2+y2r = \sqrt{x^2 + y^2}, maka (x2+y2)(9xx2+y24yx2+y2)=36(x^2 + y^2) \left(9 \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} - 4 \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right) = 36

Langkah 3: Sederhanakan Persamaan

Kalikan kedua sisi dengan x2+y2\sqrt{x^2 + y^2} untuk menghilangkan penyebut: (x2+y2)(9x4y)=36x2+y2(x^2 + y^2) (9x - 4y) = 36 \sqrt{x^2 + y^2}

Selanjutnya, kita dapat menyederhanakan persamaan ini dan mengidentifikasi jenis kurvanya. Mari kita lanjutkan langkah ini atau jika ada yang perlu dijelaskan lagi, tanyakan saja.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Polar Coordinates
Cartesian Coordinates
Conic Sections

Formulas

r^2 = x^2 + y^2
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)

Theorems

Coordinate Conversion

Suitable Grade Level

Grades 10-12