Math Problem Statement
Soient les vecteurs de R3 : u1 = (1,1,1), u2 = (1,2,3), u3 =(2,1,0) v1 = (1,2,5), v2 = (2,3,8), v3 =(5,−2,1) Soient E = Vect(u1, u2, u3) et F = Vect(v1, v2, v3).
- Donner une base de E. En d ́eduire, dimE
Solution
Pour déterminer une base de et en déduire sa dimension, nous allons vérifier si les vecteurs , , et sont linéairement indépendants.
Étape 1 : Formation de la matrice
Formons la matrice avec les vecteurs , , et comme colonnes :
Étape 2 : Détermination de l'indépendance linéaire
Pour déterminer si les vecteurs , , et sont linéairement indépendants, nous allons calculer le rang de cette matrice . Si le rang est égal à 3, cela signifie que les vecteurs sont linéairement indépendants et constituent une base de .
-
Appliquons la méthode d'élimination de Gauss pour obtenir la forme échelonnée réduite de la matrice :
Soustrayons la première ligne de la deuxième et troisième ligne :
-
Soustrayons deux fois la deuxième ligne de la troisième ligne :
Nous obtenons ainsi une matrice échelonnée avec deux pivots, donc le rang de est 2.
Conclusion pour la base de
Puisque le rang de est 2, cela signifie que l'espace vectoriel est de dimension 2. Par conséquent, et (par exemple) constituent une base de .
Réponse :
- Une base de est donc .
- La dimension de est .
Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails ?
Questions associées :
- Comment peut-on vérifier si les vecteurs de sont linéairement indépendants ?
- Quelle est la méthode pour déterminer une base de ?
- Comment trouver une base pour l'intersection de et ?
- Quelle est l'importance de la dimension d'un espace vectoriel ?
- Peut-on déterminer si et sont égaux ?
Conseil :
Pour déterminer la dimension d'un espace vectoriel engendré par des vecteurs, trouvez le rang de la matrice formée par ces vecteurs ; cela vous indique le nombre de vecteurs linéairement indépendants, c’est-à-dire la dimension.
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