Math Problem Statement

Soient les vecteurs de R3 : u1 = (1,1,1), u2 = (1,2,3), u3 =(2,1,0) v1 = (1,2,5), v2 = (2,3,8), v3 =(5,−2,1) Soient E = Vect(u1, u2, u3) et F = Vect(v1, v2, v3).

  1. Donner une base de E. En d ́eduire, dimE

Solution

Pour déterminer une base de E=Vect(u1,u2,u3)E = \text{Vect}(u_1, u_2, u_3) et en déduire sa dimension, nous allons vérifier si les vecteurs u1=(1,1,1)u_1 = (1,1,1), u2=(1,2,3)u_2 = (1,2,3), et u3=(2,1,0)u_3 = (2,1,0) sont linéairement indépendants.

Étape 1 : Formation de la matrice

Formons la matrice UU avec les vecteurs u1u_1, u2u_2, et u3u_3 comme colonnes : U=(112121130)U = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}

Étape 2 : Détermination de l'indépendance linéaire

Pour déterminer si les vecteurs u1u_1, u2u_2, et u3u_3 sont linéairement indépendants, nous allons calculer le rang de cette matrice UU. Si le rang est égal à 3, cela signifie que les vecteurs sont linéairement indépendants et constituent une base de EE.

  1. Appliquons la méthode d'élimination de Gauss pour obtenir la forme échelonnée réduite de la matrice : U=(112121130)U = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \end{pmatrix}

    Soustrayons la première ligne de la deuxième et troisième ligne : (112011022)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}

  2. Soustrayons deux fois la deuxième ligne de la troisième ligne : (112011000)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Nous obtenons ainsi une matrice échelonnée avec deux pivots, donc le rang de UU est 2.

Conclusion pour la base de EE

Puisque le rang de UU est 2, cela signifie que l'espace vectoriel EE est de dimension 2. Par conséquent, u1u_1 et u2u_2 (par exemple) constituent une base de EE.

Réponse :

  • Une base de EE est donc {u1,u2}\{u_1, u_2\}.
  • La dimension de EE est dim(E)=2\dim(E) = 2.

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous plus de détails ?

Questions associées :

  1. Comment peut-on vérifier si les vecteurs de FF sont linéairement indépendants ?
  2. Quelle est la méthode pour déterminer une base de FF ?
  3. Comment trouver une base pour l'intersection de EE et FF ?
  4. Quelle est l'importance de la dimension d'un espace vectoriel ?
  5. Peut-on déterminer si EE et FF sont égaux ?

Conseil :

Pour déterminer la dimension d'un espace vectoriel engendré par des vecteurs, trouvez le rang de la matrice formée par ces vecteurs ; cela vous indique le nombre de vecteurs linéairement indépendants, c’est-à-dire la dimension.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Algebra
Vector Spaces
Linear Independence
Basis and Dimension

Formulas

Rank of a Matrix
Gaussian Elimination for Echelon Form

Theorems

Rank-Nullity Theorem
Dimension Theorem for Vector Spaces

Suitable Grade Level

University Level