Per cfare vlere te parametrit m sistemi i ekuacioneve ka zgjidhje joTriviale?: mx+2y-z=0,2x-y+3z=0,x+3y-(m+1)z=0

Për të gjetur për cilën vlerë të parametrit \( m \) sistemi i ekuacioneve ka zgjidhje jo triviale, duhet të analizojmë determinantin e matricës së koeficientëve të këtij sistemi linear.

Sistemi është i dhënë si:

\[
\begin{aligned}
m x + 2y - z &= 0 \\
2x - y + 3z &= 0 \\
x + 3y - (m + 1)z &= 0 \\
\end{aligned}
\]

Mund të përfaqësohet në formën matricore:

\[
\begin{pmatrix}
m & 2 & -1 \\
2 & -1 & 3 \\
1 & 3 & -(m+1)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
\]

Për të gjetur për cilën vlerë të \( m \) sistemi ka zgjidhje jo triviale (d.m.th. ekziston një vektor jo zero që e përmbush ekuacionin), duhet që determinanti i matricës së koeficientëve të jetë zero.

\[
\text{Det}\begin{pmatrix}
m & 2 & -1 \\
2 & -1 & 3 \\
1 & 3 & -(m+1)
\end{pmatrix} = 0
\]

Tani, do ta llogarisim këtë determinant.Determinanti i matricës së koeficientëve është:

\[
\text{Det} = m^2 - 4m + 3
\]

Për të pasur zgjidhje jo triviale, determinanti duhet të jetë i barabartë me zero:

\[
m^2 - 4m + 3 = 0
\]

Tani do të gjej vlerat e \( m \) që e plotësojnë këtë ekuacion.Zgjidhja e ekuacionit \( m^2 - 4m + 3 = 0 \) jep vlerat \( m = 1 \) dhe \( m = 3 \).

Pra, për \( m = 1 \) dhe \( m = 3 \), sistemi i ekuacioneve ka zgjidhje jo triviale.

A keni nevojë për detaje të mëtejshme? 

Ja pesë pyetje që lidhen me këtë temë:
1. Si ndikon vlera e determinanit në ekzistencën e zgjidhjeve jo triviale në sisteme lineare?
2. Çfarë ndodh kur \( m \) merr vlera të tjera, si p.sh. \( m = 2 \)?
3. Si mund të kontrolloni nëse një sistem ekuacionesh ka një zgjidhje unike?
4. Si llogaritet determinanti për matricat më të mëdha se \( 3 \times 3 \)?
5. Çfarë janë zgjidhjet triviale dhe jo triviale në ekuacionet lineare?

**Këshillë**: Kur determinanti i matricës së koeficientëve është zero, sistemi ose ka zgjidhje të pafundme ose nuk ka zgjidhje fare, në varësi të sistemit.

Explore how to find the values of m for which a 3x3 system of linear equations has non-trivial solutions. This problem involves matrix determinants and solving a quadratic equation, suitable for undergraduate linear algebra students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation