Math Problem Statement

Per cfare vlere te parametrit m sistemi i ekuacioneve ka zgjidhje joTriviale?: mx+2y-z=0,2x-y+3z=0,x+3y-(m+1)z=0

Solution

Për të gjetur për cilën vlerë të parametrit mm sistemi i ekuacioneve ka zgjidhje jo triviale, duhet të analizojmë determinantin e matricës së koeficientëve të këtij sistemi linear.

Sistemi është i dhënë si:

m x + 2y - z &= 0 \\ 2x - y + 3z &= 0 \\ x + 3y - (m + 1)z &= 0 \\ \end{aligned}$$ Mund të përfaqësohet në formën matricore: $$\begin{pmatrix} m & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & -(m+1) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Për të gjetur për cilën vlerë të $$m$$ sistemi ka zgjidhje jo triviale (d.m.th. ekziston një vektor jo zero që e përmbush ekuacionin), duhet që determinanti i matricës së koeficientëve të jetë zero. $$\text{Det}\begin{pmatrix} m & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & -(m+1) \end{pmatrix} = 0$$ Tani, do ta llogarisim këtë determinant.Determinanti i matricës së koeficientëve është: $$\text{Det} = m^2 - 4m + 3$$ Për të pasur zgjidhje jo triviale, determinanti duhet të jetë i barabartë me zero: $$m^2 - 4m + 3 = 0$$ Tani do të gjej vlerat e $$m$$ që e plotësojnë këtë ekuacion.Zgjidhja e ekuacionit $$m^2 - 4m + 3 = 0$$ jep vlerat $$m = 1$$ dhe $$m = 3$$. Pra, për $$m = 1$$ dhe $$m = 3$$, sistemi i ekuacioneve ka zgjidhje jo triviale. A keni nevojë për detaje të mëtejshme? Ja pesë pyetje që lidhen me këtë temë: 1. Si ndikon vlera e determinanit në ekzistencën e zgjidhjeve jo triviale në sisteme lineare? 2. Çfarë ndodh kur $$m$$ merr vlera të tjera, si p.sh. $$m = 2$$? 3. Si mund të kontrolloni nëse një sistem ekuacionesh ka një zgjidhje unike? 4. Si llogaritet determinanti për matricat më të mëdha se $$3 \times 3$$? 5. Çfarë janë zgjidhjet triviale dhe jo triviale në ekuacionet lineare? **Këshillë**: Kur determinanti i matricës së koeficientëve është zero, sistemi ose ka zgjidhje të pafundme ose nuk ka zgjidhje fare, në varësi të sistemit.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Algebra
Determinants
System of Linear Equations

Formulas

Determinant of a 3x3 matrix
Quadratic equation formula: m^2 - 4m + 3 = 0

Theorems

Determinant Theorem for non-trivial solutions

Suitable Grade Level

Undergraduate - Linear Algebra

Related Recommendation

Find the Real Parameter m for Non-Trivial Solutions in a System of Equations

Determine Values of m for Unique Solutions in a Linear System

Determining the Number of Solutions for a System of Equations with Parameter m

Solving Systems of Equations with Determinants and Linear Algebra

Solve for m in a System of Linear Equations with Rank 2 Dependency