Math Problem Statement
te caktohet parametri real ''m' ashtu qe sistemi i ekuacioneve te kete zgjidhje jotriviale: (5-m)x-3y+2z=0,6x-(4+m)y+4z=0,4x-4y+(5-m)z=0
Solution
Për të gjetur vlerën e parametrave realë në mënyrë që sistemi i ekuacioneve të ketë zgjidhje jo-triviale, duhet të zgjidhim determinantën e matricës koeficienteve të këtij sistemi. Një sistem linear ka një zgjidhje jo-triviale nëse determinantja e matricës koeficienteve është zero.
Sistemi i dhënë është:
(5 - m)x - 3y + 2z = 0 \\ 6x - (4 + m)y + 4z = 0 \\ 4x - 4y + (5 - m)z = 0 \end{cases}$$ Koeficientët për këtë sistem mund të përfaqësohen në formë matricore si: $$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 5 - m & -3 & 2 \\ 6 & -(4 + m) & 4 \\ 4 & -4 & 5 - m \end{pmatrix}$$ Ne duhet të gjejmë determinantën e kësaj matrice $$\det(\mathbf{A})$$ dhe ta barazojmë me zero për të gjetur vlerat e $$m$$ që japin zgjidhje jo-triviale. Tani do të llogaris determinantën e kësaj matrice.Determinanta e matricës është: $$\det(\mathbf{A}) = -m^3 + 6m^2 - 11m + 6$$ Për të gjetur vlerat e $$m$$ që japin një zgjidhje jo-triviale, ne duhet të zgjidhim ekuacionin: $$-m^3 + 6m^2 - 11m + 6 = 0$$ Do të vazhdoj duke gjetur vlerat e $$m$$ nga ky ekuacion kubik.Zgjidhjet për parametrin $$m$$ janë: $$m = 1, \quad m = 2, \quad m = 3$$ Këto janë vlerat e parametrave $$m$$ për të cilat sistemi i dhënë i ekuacioneve ka zgjidhje jo-triviale. A keni ndonjë pyetje ose dëshironi më shumë detaje për këtë zgjidhje? ### Pyetje të ngjashme: 1. Si ndikon vlera e $$m$$ në numrin e zgjidhjeve të sistemit? 2. Çfarë ndodh nëse $$m$$ ka një vlerë që nuk është 1, 2 ose 3? 3. Si mund të verifikohet që këto zgjidhje janë të sakta? 4. Si përfaqësohet grafiku i këtij sistemi ekuacionesh? 5. Si ndikon ndryshimi i koeficienteve në sistem në formën e determinantës? ### Këshillë: Për të zgjidhur sisteme ekuacionesh lineare me parametra, përdorni gjithmonë determinantën për të parë nëse ka zgjidhje jo-triviale.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Algebra
Determinants
Systems of Linear Equations
Formulas
Matrix determinant formula
Cubic equation: -m^3 + 6m^2 - 11m + 6 = 0
Theorems
A system of linear equations has a non-trivial solution if and only if the determinant of the coefficient matrix is zero.
Suitable Grade Level
University-level mathematics or advanced high school
Related Recommendation
Determinant Calculation for Non-Trivial Solutions of a 3x3 System
Determining the Number of Solutions for a System of Equations with Parameter m
Solve for m in a System of Linear Equations with Rank 2 Dependency
Finding λ for Non-Trivial Solutions in Linear Systems
Determine Values of m for Unique Solutions in a Linear System