te caktohet parametri real ''m' ashtu qe sistemi i ekuacioneve te kete zgjidhje jotriviale: (5-m)x-3y+2z=0,6x-(4+m)y+4z=0,4x-4y+(5-m)z=0

Për të gjetur vlerën e parametrave realë \( m \) në mënyrë që sistemi i ekuacioneve të ketë zgjidhje jo-triviale, duhet të zgjidhim determinantën e matricës koeficienteve të këtij sistemi. Një sistem linear ka një zgjidhje jo-triviale nëse determinantja e matricës koeficienteve është zero.

Sistemi i dhënë është:

\[
\begin{cases}
(5 - m)x - 3y + 2z = 0 \\
6x - (4 + m)y + 4z = 0 \\
4x - 4y + (5 - m)z = 0
\end{cases}
\]

Koeficientët për këtë sistem mund të përfaqësohen në formë matricore si:

\[
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
5 - m & -3 & 2 \\
6 & -(4 + m) & 4 \\
4 & -4 & 5 - m
\end{pmatrix}
\]

Ne duhet të gjejmë determinantën e kësaj matrice \(\det(\mathbf{A})\) dhe ta barazojmë me zero për të gjetur vlerat e \(m\) që japin zgjidhje jo-triviale.

Tani do të llogaris determinantën e kësaj matrice.Determinanta e matricës është:

\[
\det(\mathbf{A}) = -m^3 + 6m^2 - 11m + 6
\]

Për të gjetur vlerat e \(m\) që japin një zgjidhje jo-triviale, ne duhet të zgjidhim ekuacionin:

\[
-m^3 + 6m^2 - 11m + 6 = 0
\]

Do të vazhdoj duke gjetur vlerat e \(m\) nga ky ekuacion kubik.Zgjidhjet për parametrin \(m\) janë:

\[
m = 1, \quad m = 2, \quad m = 3
\]

Këto janë vlerat e parametrave \(m\) për të cilat sistemi i dhënë i ekuacioneve ka zgjidhje jo-triviale.

A keni ndonjë pyetje ose dëshironi më shumë detaje për këtë zgjidhje?

### Pyetje të ngjashme:
1. Si ndikon vlera e \(m\) në numrin e zgjidhjeve të sistemit?
2. Çfarë ndodh nëse \(m\) ka një vlerë që nuk është 1, 2 ose 3?
3. Si mund të verifikohet që këto zgjidhje janë të sakta?
4. Si përfaqësohet grafiku i këtij sistemi ekuacionesh?
5. Si ndikon ndryshimi i koeficienteve në sistem në formën e determinantës?

### Këshillë:
Për të zgjidhur sisteme ekuacionesh lineare me parametra, përdorni gjithmonë determinantën për të parë nëse ka zgjidhje jo-triviale.

te caktohet parametri real 'm' ashtu qe sistemi i ekuacioneve te kete zgjidhje jotriviale: (5-m)x-3y+2z=0,6x-(4+m)y+4z=0,4x-4y+(5-m)z=0

Discover how to find the value of the real parameter 'm' such that the given system of equations has non-trivial solutions. This problem involves calculating the determinant of a 3x3 matrix and solving a cubic equation. Suitable for advanced high school or university-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation