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请对图片中的推导过程进行详细的注释

对图片中的推导过程进行详细注释：

### 证明引理3.2
设 \( F : \mathcal{Y} \to \mathcal{X} \) 是从 \(\mathcal{Y}\) 到 \(\mathcal{X}\) 的随机采样过程，这样对于固定的 \( y \in \mathcal{Y} \)，\( F(y) \) 是一个分布未知的随机向量 \( Q_y \)。我们证明对于期望的误覆盖水平 \(\alpha \in [0, 1]\)，定义在公式(9)中的逐项校准经验分位数 \(I^\alpha(y)_j = [\hat{l}_{j, \alpha}, \hat{u}_{j, \alpha}]\) 提供了定义3.1中的逐项覆盖。这即是，对于每个 \( j \in [d] := \{1, \ldots, d\} \)，
\[
\mathbb{P}[F(y)_j \in I^\alpha(y)_j] \geq 1 - \alpha
\]

### 证明
证明是经典的分裂保守预测覆盖保证的一个变体（见 Angelopoulos & Bates (2021)，定理D.1）。设 \(F_1, \ldots, F_m, F_{m+1}\) 是 \( F(y) \) 的 \(m+1\) 个独立同分布的样本。对于期望的误覆盖水平 \(\alpha \in [0, 1]\)，并且对于每个 \(j \in [d]\) 定义
\[
\hat{l}_{j,\alpha} = \inf \left\{ l : \left| \left\{ k : (F_k)_j \leq l \right\} \right| / m \geq \left\lfloor \frac{(m + 1)\alpha}{2} \right\rfloor / m \right\}
\]
和
\[
\hat{u}_{j,\alpha} = \inf \left\{ u : \left| \left\{ k : (F_k)_j \leq u \right\} \right| / m \geq \left\lceil \frac{(m + 1)(1 - \alpha/2)}{m} \right\rceil / m \right\}
\]
其中 \(\left\lfloor \frac{(m + 1)\alpha/2}{m} \right\rfloor \) 和 \(\left\lceil \frac{(m + 1)(1 - \alpha/2)}{m} \right\rceil \) 分别是 \(F_1, \ldots, F_m\) 的逐项校准经验分位数。假设对于每个 \(j \in [d]\)，前 \(m\) 个样本按升序排列，即 \( (F_1)_j \leq \ldots \leq (F_m)_j \)，使得
\[
\hat{l}_{j,\alpha} = (F_{\left\lfloor \frac{(m + 1)\alpha/2}{m} \right\rfloor})_j \quad \text{和} \quad \hat{u}_{j,\alpha} = (F_{\left\lceil \frac{(m + 1)(1 - \alpha/2)}{m} \right\rceil})_j
\]
注意，由于 \((F_1)_j, \ldots, (F_m)_j\) 的对称性，\( (F_{m+1})_j \) 同样可能落在前 \(m\) 个样本之间。即，对于任意两个索引 \(m_1 < m_2\)，
\[
\mathbb{P}[(F_{m+1})_j \in [(F_{m_1})_j, (F_{m_2})_j]] = \frac{m_2 - m_1}{m + 1}
\]

将上述等式应用于 \(I^\alpha(y)_j = [\hat{l}_{j,\alpha}, \hat{u}_{j,\alpha}]\)，得到
\[
\mathbb{P}[(F_{m+1})_j \in I^\alpha(y)_j] = \mathbb{P}[(F_{m+1})_j \in [\hat{l}_{j,\alpha}, \hat{u}_{j,\alpha}]]
\]
\[
= \mathbb{P}[(F_{m+1})_j \in [(F_{\left\lfloor \frac{(m + 1)\alpha/2}{m} \right\rfloor})_j, (F_{\left\lceil \frac{(m + 1)(1 - \alpha/2)}{m} \right\rfloor})_j]]
\]
\[
= \frac{\left\lceil \frac{(m + 1)(1 - \alpha/2)}{m} \right\rceil - \left\lfloor \frac{(m + 1)\alpha/2}{m} \right\rfloor}{m + 1}
\]
\[
\geq \frac{(m + 1)(1 - \alpha)}{m + 1} = 1 - \alpha
\]

这即是证明的结论。

希望以上解释能够帮助理解这个推导过程。如果有任何问题或需要更详细的说明，请告诉我。

**相关问题：**
1. 什么是分裂保守预测覆盖保证？
2. 如何计算经验分位数？
3. 在这个证明中，为什么需要独立同分布的样本？
4. 证明过程中用到的对称性原理具体是怎样的？
5. 在公式(24)和(25)中，为什么使用 \(\left\lfloor \right\rfloor\) 和 \(\left\lceil \right\rceil\)？
6. 逐项校准经验分位数与普通经验分位数有什么区别？
7. 为什么这个证明适用于任意误覆盖水平 \(\alpha\)？
8. 该证明中的分位数是如何确保覆盖概率为 \(1 - \alpha\) 的？

**一个小提示：**
在处理分位数时，理解它们的几何意义（即数据排序后某个百分比位置）有助于更直观地理解证明过程。

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