x^3y^2/x^6+y^4 é descontinuidade removível ou essencial?

Para determinar se a expressão \( \frac{x^3y^2}{x^6 + y^4} \) apresenta uma descontinuidade removível ou essencial, devemos analisar os pontos críticos onde a função pode não estar definida, que ocorrem quando o denominador é igual a zero, ou seja, quando \( x^6 + y^4 = 0 \).

1. **Resolvendo a equação** \( x^6 + y^4 = 0 \):

   \( x^6 \geq 0 \) e \( y^4 \geq 0 \) para todos os valores reais de \( x \) e \( y \). Como ambos os termos são sempre não-negativos, a soma deles só pode ser igual a zero quando **ambos** os termos forem iguais a zero, isto é, \( x = 0 \) e \( y = 0 \).

2. **Analisando o comportamento em \( x = 0 \) e \( y = 0 \)**:

   No ponto \( (0, 0) \), o denominador \( x^6 + y^4 \) se anula, tornando a expressão indefinida nesse ponto. Agora, precisamos determinar o tipo de descontinuidade presente nesse ponto.

   - Para ser uma **descontinuidade removível**, a função deve poder ser "remendada" de forma contínua no ponto \( (0, 0) \), ou seja, deve ser possível definir um valor para a função nesse ponto que torne a função contínua.
   
   - Se não for possível definir tal valor, temos uma **descontinuidade essencial**.

3. **Comportamento próximo de \( (0, 0) \)**:

   Vamos analisar o comportamento da expressão perto de \( (0, 0) \). Observe que para \( x \) e \( y \) próximos de zero, o numerador \( x^3 y^2 \) tende a zero, enquanto o denominador \( x^6 + y^4 \) também tende a zero. Para determinar a natureza da descontinuidade, podemos analisar o limite da função quando \( (x, y) \to (0, 0) \).

   **Caso 1:** Se \( y = 0 \), temos:
   \[
   \frac{x^3(0)^2}{x^6 + 0^4} = 0 \quad \text{(função tende a zero)}.
   \]

   **Caso 2:** Se \( x = 0 \), temos:
   \[
   \frac{0^3y^2}{0^6 + y^4} = 0 \quad \text{(função tende a zero)}.
   \]

   **Caso 3:** Para \( x = y \), a expressão se torna:
   \[
   \frac{x^3 x^2}{x^6 + x^4} = \frac{x^5}{x^6 + x^4} = \frac{x^5}{x^4(x^2 + 1)} = \frac{x}{x^2 + 1}.
   \]
   Quando \( x \to 0 \), essa expressão também tende a zero.

   Como em todos os casos a função tende a zero conforme nos aproximamos do ponto \( (0, 0) \), parece que podemos definir \( f(0, 0) = 0 \), o que tornaria a função contínua nesse ponto.

**Conclusão**: A descontinuidade no ponto \( (0, 0) \) é **removível**, pois podemos definir a função como zero nesse ponto, tornando-a contínua.

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Aqui estão 5 perguntas relacionadas:

1. O que é uma descontinuidade essencial?
2. Como analisar limites de funções em mais de uma variável?
3. Quando uma função tem uma descontinuidade removível?
4. Como o comportamento do denominador afeta a continuidade de uma função?
5. O que acontece com funções de duas variáveis quando o denominador se anula?

**Dica**: Ao estudar descontinuidades, sempre verifique o comportamento da função em torno dos pontos críticos através dos limites, tanto laterais quanto por diferentes direções.

x^3y^2/x^6 + y^4 é descontinuidade removível ou essencial?

Explore a detailed analysis of whether the expression (x^3y^2) / (x^6 + y^4) has a removable or essential discontinuity. This problem includes continuity analysis, limit behavior, and solutions to discontinuities in multivariable functions. Suitable for undergraduate calculus students.

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