2y^2-3xy/(x^2+y^2)^1/2. Descontinuidade removível ou essencial?

Vamos analisar a função dada: 

\[
f(x, y) = \frac{2y^2 - 3xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}
\]

Para determinar se a descontinuidade é removível ou essencial, precisamos verificar o comportamento da função à medida que \((x, y) \to (0, 0)\), que é o ponto potencial de descontinuidade.

### Passo 1: Verificar se há descontinuidade no ponto \((0, 0)\)
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função conforme \((x, y)\) se aproxima de \((0, 0)\) ao longo de diferentes direções.

#### a) Aproximação pela linha \(y = 0\):
Se substituirmos \(y = 0\), temos:

\[
f(x, 0) = \frac{2(0)^2 - 3x(0)}{\sqrt{x^2 + 0^2}} = 0
\]

Ou seja, ao longo de \(y = 0\), a função tende a \(0\).

#### b) Aproximação pela linha \(x = 0\):
Se substituirmos \(x = 0\), temos:

\[
f(0, y) = \frac{2y^2 - 3(0)y}{\sqrt{0^2 + y^2}} = \frac{2y^2}{|y|} = 2|y|
\]

Ao longo de \(x = 0\), a função se aproxima de \(2|y|\), que depende de \(y\) e não tende a \(0\) conforme \(y \to 0\).

### Passo 2: Conclusão
Como o limite da função depende da direção de aproximação de \((x, y)\) para \((0, 0)\) — ao longo de \(x = 0\) o limite não é o mesmo que ao longo de \(y = 0\) — podemos concluir que a descontinuidade é essencial, pois o limite não existe de forma uniforme.

Se precisar de mais detalhes ou tiver alguma dúvida, me avise!

### Perguntas Relacionadas:
1. Como podemos classificar outras descontinuidades de funções multivariadas?
2. O que caracteriza uma descontinuidade removível?
3. Existe uma maneira de redefinir a função para tornar a descontinuidade removível?
4. Como o conceito de limite direcional afeta a continuidade de funções de várias variáveis?
5. Qual a diferença entre descontinuidade essencial em funções de uma variável e de várias variáveis?

#### Dica:
Para funções multivariadas, sempre verifique o comportamento ao longo de diferentes direções ao analisar descontinuidades.

Explore the nature of the discontinuity for the multivariable function f(x, y) = (2y^2 - 3xy) / sqrt(x^2 + y^2). This problem examines directional limits, essential discontinuities, and multivariable calculus concepts. Suitable for advanced students in multivariable calculus.

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