Vamos analisar a função dada:

$f(x, y) = \frac{2y^2 - 3xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}$

Para determinar se a descontinuidade é removível ou essencial, precisamos verificar o comportamento da função à medida que $(x, y) \to (0, 0)$, que é o ponto potencial de descontinuidade.

Passo 1: Verificar se há descontinuidade no ponto $(0, 0)$

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função conforme $(x, y)$ se aproxima de $(0, 0)$ ao longo de diferentes direções.

a) Aproximação pela linha $y = 0$:

Se substituirmos $y = 0$, temos:

$f(x, 0) = \frac{2(0)^2 - 3x(0)}{\sqrt{x^2 + 0^2}} = 0$

Ou seja, ao longo de $y = 0$, a função tende a $0$.

b) Aproximação pela linha $x = 0$:

Se substituirmos $x = 0$, temos:

$f(0, y) = \frac{2y^2 - 3(0)y}{\sqrt{0^2 + y^2}} = \frac{2y^2}{|y|} = 2|y|$

Ao longo de $x = 0$, a função se aproxima de $2|y|$, que depende de $y$ e não tende a $0$ conforme $y \to 0$.

Passo 2: Conclusão

Como o limite da função depende da direção de aproximação de $(x, y)$ para $(0, 0)$ — ao longo de $x = 0$ o limite não é o mesmo que ao longo de $y = 0$ — podemos concluir que a descontinuidade é essencial, pois o limite não existe de forma uniforme.

Se precisar de mais detalhes ou tiver alguma dúvida, me avise!

Perguntas Relacionadas:

1. Como podemos classificar outras descontinuidades de funções multivariadas?
2. O que caracteriza uma descontinuidade removível?
3. Existe uma maneira de redefinir a função para tornar a descontinuidade removível?
4. Como o conceito de limite direcional afeta a continuidade de funções de várias variáveis?
5. Qual a diferença entre descontinuidade essencial em funções de uma variável e de várias variáveis?

Dica:

Para funções multivariadas, sempre verifique o comportamento ao longo de diferentes direções ao analisar descontinuidades.