2y^2-3xy/(x^2+y^2)^1/2 É descontinuidade removível ou essencial?

Para determinar se a função \( \frac{2y^2 - 3xy}{\sqrt{x^2 + y^2}} \) apresenta descontinuidade removível ou essencial, precisamos analisar o comportamento da função nos pontos em que ela pode não ser contínua. Isso geralmente acontece em pontos onde o denominador se anula, ou seja, quando \( \sqrt{x^2 + y^2} = 0 \).

### Passos:

1. **Identificar possíveis pontos de descontinuidade:**
   A descontinuidade ocorre onde o denominador é zero. Neste caso, temos \( \sqrt{x^2 + y^2} = 0 \), o que implica que \( x = 0 \) e \( y = 0 \). Portanto, a possível descontinuidade ocorre no ponto \( (0, 0) \).

2. **Analisar o limite no ponto \( (0, 0) \):**
   Para verificar se a descontinuidade é removível ou essencial, precisamos calcular o limite da função à medida que \( (x, y) \) se aproxima de \( (0, 0) \) por diferentes caminhos.

   - **Caminho 1: \( y = 0 \)**  
     A função se torna:
     \[
     \frac{2(0)^2 - 3x(0)}{\sqrt{x^2 + 0^2}} = 0
     \]
     Logo, o limite ao longo de \( y = 0 \) é \( 0 \).

   - **Caminho 2: \( x = 0 \)**  
     A função se torna:
     \[
     \frac{2y^2 - 3(0)y}{\sqrt{0^2 + y^2}} = \frac{2y^2}{|y|} = 2|y|
     \]
     Neste caso, o limite depende do valor de \( y \). Quando \( y \) se aproxima de \( 0 \), o limite é \( 0 \), mas ao longo de \( x = 0 \), ele se aproxima de \( 0 \) de maneiras diferentes dependendo da direção.

   - **Caminho 3: \( x = y \)**  
     Neste caso, a função se torna:
     \[
     \frac{2y^2 - 3y^2}{\sqrt{y^2 + y^2}} = \frac{-y^2}{\sqrt{2y^2}} = \frac{-y^2}{|y|\sqrt{2}} = \frac{-|y|}{\sqrt{2}}
     \]
     Aqui, o limite não é zero, mas \( \frac{-|y|}{\sqrt{2}} \).

### Conclusão:
Como o limite da função depende do caminho escolhido (não há um limite único), a função possui uma **descontinuidade essencial** no ponto \( (0, 0) \).

Deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida?

Aqui estão algumas perguntas relacionadas:
1. O que é uma descontinuidade removível?
2. Como o comportamento da função muda dependendo do caminho tomado para \( (0, 0) \)?
3. Quais são as condições para uma descontinuidade ser considerada essencial?
4. Como a análise de limites pode revelar descontinuidades?
5. Que outras funções possuem descontinuidades essenciais?

**Dica**: Quando o limite depende do caminho seguido para um ponto, você geralmente está lidando com uma descontinuidade essencial.

Explore the classification of discontinuities in the multivariable function f(x, y) = (2y^2 - 3xy) / sqrt(x^2 + y^2). Determine whether the discontinuity at (0, 0) is removable or essential by analyzing limits from different paths. Suitable for students studying calculus or multivariable functions.

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