Para determinar se a função $\frac{2y^2 - 3xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ apresenta descontinuidade removível ou essencial, precisamos analisar o comportamento da função nos pontos em que ela pode não ser contínua. Isso geralmente acontece em pontos onde o denominador se anula, ou seja, quando $\sqrt{x^2 + y^2} = 0$.

Passos:

1. Identificar possíveis pontos de descontinuidade: A descontinuidade ocorre onde o denominador é zero. Neste caso, temos $\sqrt{x^2 + y^2} = 0$, o que implica que $x = 0$ e $y = 0$. Portanto, a possível descontinuidade ocorre no ponto $(0, 0)$.

2. Analisar o limite no ponto $(0, 0)$: Para verificar se a descontinuidade é removível ou essencial, precisamos calcular o limite da função à medida que $(x, y)$ se aproxima de $(0, 0)$ por diferentes caminhos.

   • Caminho 1: $y = 0$
     A função se torna: $\frac{2(0)^2 - 3x(0)}{\sqrt{x^2 + 0^2}} = 0$ Logo, o limite ao longo de $y = 0$ é $0$.

   • Caminho 2: $x = 0$
     A função se torna: $\frac{2y^2 - 3(0)y}{\sqrt{0^2 + y^2}} = \frac{2y^2}{|y|} = 2|y|$ Neste caso, o limite depende do valor de $y$. Quando $y$ se aproxima de $0$, o limite é $0$, mas ao longo de $x = 0$, ele se aproxima de $0$ de maneiras diferentes dependendo da direção.

   • Caminho 3: $x = y$
     Neste caso, a função se torna: $\frac{2y^2 - 3y^2}{\sqrt{y^2 + y^2}} = \frac{-y^2}{\sqrt{2y^2}} = \frac{-y^2}{|y|\sqrt{2}} = \frac{-|y|}{\sqrt{2}}$ Aqui, o limite não é zero, mas $\frac{-|y|}{\sqrt{2}}$.

Conclusão:

Como o limite da função depende do caminho escolhido (não há um limite único), a função possui uma descontinuidade essencial no ponto $(0, 0)$.

Deseja mais detalhes ou tem alguma dúvida?

Aqui estão algumas perguntas relacionadas:

1. O que é uma descontinuidade removível?
2. Como o comportamento da função muda dependendo do caminho tomado para $(0, 0)$?
3. Quais são as condições para uma descontinuidade ser considerada essencial?
4. Como a análise de limites pode revelar descontinuidades?
5. Que outras funções possuem descontinuidades essenciais?

Dica: Quando o limite depende do caminho seguido para um ponto, você geralmente está lidando com uma descontinuidade essencial.