3(x³-1)^-1/3 aplica la regla de la cadena para la potencia y encuentra la derivada

Para encontrar la derivada de la función \( 3(x^3 - 1)^{-\frac{1}{3}} \) utilizando la regla de la cadena para la potencia, seguimos estos pasos:

### Paso 1: Identificar las funciones
- Sea \( u(x) = x^3 - 1 \).
- La función externa es \( f(u) = 3u^{-\frac{1}{3}} \).

### Paso 2: Derivar la función externa con respecto a \( u \)
- La derivada de \( f(u) = 3u^{-\frac{1}{3}} \) con respecto a \( u \) es:
  \[
  f'(u) = 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot u^{-\frac{1}{3} - 1} = -u^{-\frac{4}{3}}
  \]

### Paso 3: Derivar la función interna \( u(x) \) con respecto a \( x \)
- La derivada de \( u(x) = x^3 - 1 \) con respecto a \( x \) es:
  \[
  u'(x) = 3x^2
  \]

### Paso 4: Aplicar la regla de la cadena
- La regla de la cadena nos dice que:
  \[
  \frac{d}{dx} \left[ 3(x^3 - 1)^{-\frac{1}{3}} \right] = f'(u) \cdot u'(x)
  \]
  Sustituyendo los valores obtenidos:
  \[
  \frac{d}{dx} \left[ 3(x^3 - 1)^{-\frac{1}{3}} \right] = -u^{-\frac{4}{3}} \cdot 3x^2
  \]

### Paso 5: Sustituir \( u(x) \) de nuevo
- Reemplazamos \( u(x) = x^3 - 1 \):
  \[
  \frac{d}{dx} \left[ 3(x^3 - 1)^{-\frac{1}{3}} \right] = -3x^2 \cdot (x^3 - 1)^{-\frac{4}{3}}
  \]

Por lo tanto, la derivada de la función \( 3(x^3 - 1)^{-\frac{1}{3}} \) es:
\[
\boxed{-3x^2 \cdot (x^3 - 1)^{-\frac{4}{3}}}
\]

¿Te gustaría que profundice en algún paso en particular?

Aquí hay 5 preguntas relacionadas que podrían ayudarte a expandir este tema:
1. ¿Cómo se aplica la regla de la cadena en derivadas más complejas?
2. ¿Cuál es la interpretación geométrica de la derivada de una función?
3. ¿Cómo afecta el cambio de la base en funciones exponenciales a la derivada?
4. ¿Qué sucede si cambiamos la potencia en la función original, cómo cambia la derivada?
5. ¿Cómo se calcularía la segunda derivada de la función dada?

**Tip:** Al calcular derivadas, siempre verifica que las funciones internas y externas estén correctamente identificadas para aplicar correctamente la regla de la cadena.

Learn how to find the derivative of 3(x³-1)^(-1/3) using the chain rule for derivatives. This problem involves identifying functions, applying the power rule, and using the chain rule effectively. Suitable for advanced high school students and calculus learners.

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