https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/172440884925198xd9ilw.jpg

مشتق عبارت را با راه حل تشریحی حل کن

برای محاسبه مشتق عبارت داده شده \( y = \sqrt{\frac{1}{(x-2)^3}} \)، مراحل زیر را طی می‌کنیم:

1. **بازنویسی تابع**:
   \[
   y = \left(\frac{1}{(x-2)^3}\right)^{\frac{1}{2}}
   \]
   که می‌توان آن را به صورت زیر بازنویسی کرد:
   \[
   y = (x-2)^{-\frac{3}{2}}
   \]

2. **مشتق‌گیری**:
   برای مشتق‌گیری از این تابع، از قاعده‌ی زنجیره‌ای استفاده می‌کنیم. مشتق از فرم کلی \( y = u^n \) است که \( u = x-2 \) و \( n = -\frac{3}{2} \).

   \[
   \frac{dy}{dx} = n \cdot u^{n-1} \cdot \frac{du}{dx}
   \]

   حالا، \( \frac{du}{dx} = 1 \) زیرا مشتق \( x-2 \) نسبت به \( x \) برابر است با 1. پس:
   \[
   \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2} \cdot (x-2)^{-\frac{5}{2}} \cdot 1
   \]

3. **نتیجه نهایی**:
   پس مشتق \( y \) نسبت به \( x \) برابر است با:
   \[
   \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2} \cdot (x-2)^{-\frac{5}{2}}
   \]
   یا به صورت دیگر:
   \[
   \frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(x-2)^{\frac{5}{2}}}
   \]

آیا سوال یا جزئیات بیشتری نیاز دارید؟

### سوالات مرتبط:
1. چگونه می‌توان مشتق توابع پیچیده‌تر را با استفاده از قواعد زنجیره‌ای و توابع مرکب محاسبه کرد؟
2. مشتق توابع با توان منفی چگونه با استفاده از قاعده‌ی زنجیره‌ای محاسبه می‌شود؟
3. چگونه می‌توان از قاعده‌ی زنجیره‌ای برای مشتق‌گیری از توابع لگاریتمی و نمایی استفاده کرد؟
4. نقش مشتق در تحلیل رفتار توابع چگونه است؟
5. چگونه می‌توان از مشتق برای تعیین نقاط بحرانی و بهینه‌سازی توابع استفاده کرد؟

### نکته:
در مشتق‌گیری از توابع شامل جذر یا توان‌های کسری، قاعده‌ی زنجیره‌ای ابزار بسیار مهمی است که باید به درستی اعمال شود.

Learn how to calculate the derivative of the expression y = sqrt(1/(x-2)^3) step-by-step. This problem involves differentiation using the chain rule and handling negative exponents. Suitable for university-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation