برای محاسبه مشتق عبارت داده شده $y = \sqrt{\frac{1}{(x-2)^3}}$، مراحل زیر را طی می‌کنیم:

1. بازنویسی تابع: $y = \left(\frac{1}{(x-2)^3}\right)^{\frac{1}{2}}$ که می‌توان آن را به صورت زیر بازنویسی کرد: $y = (x-2)^{-\frac{3}{2}}$

2. مشتق‌گیری: برای مشتق‌گیری از این تابع، از قاعده‌ی زنجیره‌ای استفاده می‌کنیم. مشتق از فرم کلی $y = u^n$ است که $u = x-2$ و $n = -\frac{3}{2}$.

   $\frac{dy}{dx} = n \cdot u^{n-1} \cdot \frac{du}{dx}$

   حالا، $\frac{du}{dx} = 1$ زیرا مشتق $x-2$ نسبت به $x$ برابر است با 1. پس: $\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2} \cdot (x-2)^{-\frac{5}{2}} \cdot 1$

3. نتیجه نهایی: پس مشتق $y$ نسبت به $x$ برابر است با: $\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2} \cdot (x-2)^{-\frac{5}{2}}$ یا به صورت دیگر: $\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{(x-2)^{\frac{5}{2}}}$

آیا سوال یا جزئیات بیشتری نیاز دارید؟

سوالات مرتبط:

1. چگونه می‌توان مشتق توابع پیچیده‌تر را با استفاده از قواعد زنجیره‌ای و توابع مرکب محاسبه کرد؟
2. مشتق توابع با توان منفی چگونه با استفاده از قاعده‌ی زنجیره‌ای محاسبه می‌شود؟
3. چگونه می‌توان از قاعده‌ی زنجیره‌ای برای مشتق‌گیری از توابع لگاریتمی و نمایی استفاده کرد؟
4. نقش مشتق در تحلیل رفتار توابع چگونه است؟
5. چگونه می‌توان از مشتق برای تعیین نقاط بحرانی و بهینه‌سازی توابع استفاده کرد؟

نکته:

در مشتق‌گیری از توابع شامل جذر یا توان‌های کسری، قاعده‌ی زنجیره‌ای ابزار بسیار مهمی است که باید به درستی اعمال شود.