deriver f(x) = (2-2x)/(x+7) et g(x) = (3x-7)/(1-x) avec  la méthode (u/v)'

Pour dériver les fonctions \( f(x) = \frac{2 - 2x}{x + 7} \) et \( g(x) = \frac{3x - 7}{1 - x} \) en utilisant la méthode de dérivation des quotients, c'est-à-dire \( \left( \frac{u}{v} \right)' \), il faut utiliser la formule suivante :

\[
\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
\]

### 1. Dérivation de \( f(x) = \frac{2 - 2x}{x + 7} \)

- Soit \( u(x) = 2 - 2x \) et \( v(x) = x + 7 \).
- Dérivons \( u(x) \) et \( v(x) \) :
  \[
  u'(x) = -2 \quad \text{et} \quad v'(x) = 1
  \]
- Utilisons maintenant la formule du quotient :
  \[
  f'(x) = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{v(x)^2}
  \]
  Substituons les expressions trouvées :
  \[
  f'(x) = \frac{(-2)(x + 7) - (2 - 2x)(1)}{(x + 7)^2}
  \]
  Simplifions :
  \[
  f'(x) = \frac{-2(x + 7) - (2 - 2x)}{(x + 7)^2} = \frac{-2x - 14 - 2 + 2x}{(x + 7)^2}
  \]
  \[
  f'(x) = \frac{-16}{(x + 7)^2}
  \]

### 2. Dérivation de \( g(x) = \frac{3x - 7}{1 - x} \)

- Soit \( u(x) = 3x - 7 \) et \( v(x) = 1 - x \).
- Dérivons \( u(x) \) et \( v(x) \) :
  \[
  u'(x) = 3 \quad \text{et} \quad v'(x) = -1
  \]
- Utilisons la formule du quotient :
  \[
  g'(x) = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{v(x)^2}
  \]
  Substituons les expressions trouvées :
  \[
  g'(x) = \frac{3(1 - x) - (3x - 7)(-1)}{(1 - x)^2}
  \]
  Simplifions :
  \[
  g'(x) = \frac{3 - 3x + 3x - 7}{(1 - x)^2} = \frac{-4}{(1 - x)^2}
  \]

### Résultats finaux :
- \( f'(x) = \frac{-16}{(x + 7)^2} \)
- \( g'(x) = \frac{-4}{(1 - x)^2} \)

Souhaitez-vous des explications supplémentaires ou des détails sur ces étapes ?

### Questions supplémentaires :
1. Comment peut-on vérifier la dérivée d'un quotient en utilisant une autre méthode ?
2. Quelle est l'importance de la simplification dans les dérivées de fractions ?
3. Comment appliquer cette méthode à des fonctions plus complexes ?
4. Peut-on obtenir des résultats similaires en utilisant la règle de la chaîne dans certains cas ?
5. Quel est l'impact des zéros du dénominateur sur la dérivabilité des fonctions rationnelles ?

### Astuce :
Lorsque vous travaillez avec des quotients, essayez toujours de factoriser et simplifier autant que possible pour éviter des erreurs de calcul.

deriver f(x) = (2-2x)/(x+7) et g(x) = (3x-7)/(1-x) avec la méthode (u/v)'

Learn how to differentiate rational functions like f(x) = (2-2x)/(x+7) and g(x) = (3x-7)/(1-x) using the quotient rule. This detailed solution breaks down the process step-by-step, applying key calculus concepts suitable for high school students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation