Pour dériver les fonctions $f(x) = \frac{2 - 2x}{x + 7}$ et $g(x) = \frac{3x - 7}{1 - x}$ en utilisant la méthode de dérivation des quotients, c'est-à-dire $\left( \frac{u}{v} \right)'$, il faut utiliser la formule suivante :

$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

1. Dérivation de $f(x) = \frac{2 - 2x}{x + 7}$

• Soit $u(x) = 2 - 2x$ et $v(x) = x + 7$.
• Dérivons $u(x)$ et $v(x)$ : $u'(x) = -2 \quad \text{et} \quad v'(x) = 1$
• Utilisons maintenant la formule du quotient : $f'(x) = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{v(x)^2}$ Substituons les expressions trouvées : $f'(x) = \frac{(-2)(x + 7) - (2 - 2x)(1)}{(x + 7)^2}$ Simplifions : $f'(x) = \frac{-2(x + 7) - (2 - 2x)}{(x + 7)^2} = \frac{-2x - 14 - 2 + 2x}{(x + 7)^2}$ $f'(x) = \frac{-16}{(x + 7)^2}$

2. Dérivation de $g(x) = \frac{3x - 7}{1 - x}$

• Soit $u(x) = 3x - 7$ et $v(x) = 1 - x$.
• Dérivons $u(x)$ et $v(x)$ : $u'(x) = 3 \quad \text{et} \quad v'(x) = -1$
• Utilisons la formule du quotient : $g'(x) = \frac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x)}{v(x)^2}$ Substituons les expressions trouvées : $g'(x) = \frac{3(1 - x) - (3x - 7)(-1)}{(1 - x)^2}$ Simplifions : $g'(x) = \frac{3 - 3x + 3x - 7}{(1 - x)^2} = \frac{-4}{(1 - x)^2}$

Résultats finaux :

• $f'(x) = \frac{-16}{(x + 7)^2}$
• $g'(x) = \frac{-4}{(1 - x)^2}$

Souhaitez-vous des explications supplémentaires ou des détails sur ces étapes ?

Questions supplémentaires :

1. Comment peut-on vérifier la dérivée d'un quotient en utilisant une autre méthode ?
2. Quelle est l'importance de la simplification dans les dérivées de fractions ?
3. Comment appliquer cette méthode à des fonctions plus complexes ?
4. Peut-on obtenir des résultats similaires en utilisant la règle de la chaîne dans certains cas ?
5. Quel est l'impact des zéros du dénominateur sur la dérivabilité des fonctions rationnelles ?

Astuce :

Lorsque vous travaillez avec des quotients, essayez toujours de factoriser et simplifier autant que possible pour éviter des erreurs de calcul.