Para encontrar la derivada de \( f(x) = x e^{-5x} \), utilizamos la **regla del producto**, ya que es el producto de dos funciones: \( x \) y \( e^{-5x} \).

La derivada del producto de dos funciones \( u(x) \cdot v(x) \) es:
\[
\frac{d}{dx}[u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
\]
Aquí, definimos:
- \( u(x) = x \) y \( v(x) = e^{-5x} \).

Ahora, derivamos cada una:
- La derivada de \( u(x) = x \) es \( u'(x) = 1 \).
- La derivada de \( v(x) = e^{-5x} \) es \( v'(x) = -5e^{-5x} \) (por la regla de la cadena).

Usamos la fórmula de la derivada del producto:
\[
f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
\]
\[
f'(x) = 1 \cdot e^{-5x} + x \cdot (-5e^{-5x})
\]
\[
f'(x) = e^{-5x} - 5x e^{-5x}
\]

Por lo tanto, la derivada de \( x e^{-5x} \) es:
\[
f'(x) = e^{-5x}(1 - 5x)
\]

¿Te gustaría más detalles sobre este proceso o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica la regla del producto en otros ejemplos?
2. ¿Cómo derivar funciones exponenciales en otros contextos?
3. ¿Qué es la regla de la cadena y cómo se aplica?
4. ¿Cómo afecta el término \( x \) al comportamiento de la derivada en este caso?
5. ¿Cómo graficar la función \( x e^{-5x} \) y su derivada?

**Tip**: La regla del producto es útil para derivar funciones cuando hay multiplicación entre dos funciones diferenciables.

Learn how to differentiate the function xe^(-5x) using the product rule and chain rule. This detailed solution breaks down each step and explains how to handle exponential functions. Suitable for high school students or early university learners studying calculus.

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