Para encontrar la derivada de $f(x) = x e^{-5x}$, utilizamos la regla del producto, ya que es el producto de dos funciones: $x$ y $e^{-5x}$.

La derivada del producto de dos funciones $u(x) \cdot v(x)$ es: $\frac{d}{dx}[u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$ Aquí, definimos:

• $u(x) = x$ y $v(x) = e^{-5x}$.

Ahora, derivamos cada una:

• La derivada de $u(x) = x$ es $u'(x) = 1$.
• La derivada de $v(x) = e^{-5x}$ es $v'(x) = -5e^{-5x}$ (por la regla de la cadena).

Usamos la fórmula de la derivada del producto: $f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$ $f'(x) = 1 \cdot e^{-5x} + x \cdot (-5e^{-5x})$ $f'(x) = e^{-5x} - 5x e^{-5x}$

Por lo tanto, la derivada de $x e^{-5x}$ es: $f'(x) = e^{-5x}(1 - 5x)$

¿Te gustaría más detalles sobre este proceso o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplica la regla del producto en otros ejemplos?
2. ¿Cómo derivar funciones exponenciales en otros contextos?
3. ¿Qué es la regla de la cadena y cómo se aplica?
4. ¿Cómo afecta el término $x$ al comportamiento de la derivada en este caso?
5. ¿Cómo graficar la función $x e^{-5x}$ y su derivada?

Tip: La regla del producto es útil para derivar funciones cuando hay multiplicación entre dos funciones diferenciables.