Aby znaleźć pochodną funkcji $f(x) = x e^{\frac{1}{x-2}} + 1$, użyjemy reguł różniczkowania, w tym iloczynu i łańcucha.

1. Funkcja:

$f(x) = x e^{\frac{1}{x-2}} + 1$

Krok 1: Różniczkujemy pierwszy składnik $x e^{\frac{1}{x-2}}$.

(a) Różniczkujemy $x \cdot g(x)$, gdzie $g(x) = e^{\frac{1}{x-2}}$:

Zgodnie z regułą iloczynu: $\frac{d}{dx}[x \cdot g(x)] = x \cdot g'(x) + g(x).$

(b) Wyznaczamy $g'(x)$, czyli pochodną $g(x) = e^{\frac{1}{x-2}}$:

Używamy reguły łańcucha: $g'(x) = e^{\frac{1}{x-2}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x-2} \right).$ A zatem: $\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x-2} \right) = -\frac{1}{(x-2)^2}.$ Zatem: $g'(x) = e^{\frac{1}{x-2}} \cdot \left( -\frac{1}{(x-2)^2} \right).$

Krok 2: Uwzględniamy całość: $\frac{d}{dx} \left[ x e^{\frac{1}{x-2}} \right] = x \cdot e^{\frac{1}{x-2}} \cdot \left( -\frac{1}{(x-2)^2} \right) + e^{\frac{1}{x-2}}.$

Krok 3: Różniczkujemy stałą $+1$: $\frac{d}{dx}[1] = 0.$

Ostateczny wynik:

$f'(x) = x e^{\frac{1}{x-2}} \left( -\frac{1}{(x-2)^2} \right) + e^{\frac{1}{x-2}}.$

Można zapisać to bardziej przejrzyście: $f'(x) = e^{\frac{1}{x-2}} \left( 1 - \frac{x}{(x-2)^2} \right).$

Czy potrzebujesz dodatkowych szczegółów lub wykresu tej funkcji? 😊

---

5 Powiązanych pytań:

1. Jak znaleźć punkty krytyczne funkcji $f(x) = xe^{\frac{1}{x-2}} + 1$?
2. Jak obliczyć drugą pochodną tej funkcji?
3. Jak zachowuje się $f(x)$ w otoczeniu punktu $x = 2$?
4. Jak różniczkować funkcje o bardziej złożonej strukturze wykładniczej?
5. Jakie są zastosowania pochodnych w analizie funkcji wykładniczych?

Porada:

Kiedy różniczysz złożone funkcje, zawsze zwracaj uwagę na właściwe zastosowanie reguły łańcucha!