Annetaan funktio $f(x, y) = \arctan \left( \frac{y}{x} \right)$ ja parametroitu kaari $G(t) = (\cos t, \sin t)$, missä $t \in \mathbb{R}$. Tarkastellaan yhdistettyä funktiota $h(t) = f(G(t))$, joka on määritelty seuraavasti:

$h(t) = \arctan \left( \frac{\sin t}{\cos t} \right) = \arctan(\tan t).$

Tässä vaiheessa tiedämme, että arkustangentin arvo on aina välillä $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$, joten:

$h(t) = t \quad \text{välillä} \quad -\frac{\pi}{2} < t < \frac{\pi}{2}.$

Jos $t$ menee yli tämän välin, arkustangentti palauttaa kulman, joka on "kierretty" takaisin tähän väliin. Tämä tarkoittaa, että funktio $h(t) = \arctan(\tan t)$ ei ole yksikäsitteinen tietyillä $t$-arvoilla.

Nyt lasketaan $h'(t)$ käyttäen ketjusääntöä. Ketjusäännön mukaan, jos $h(t) = f(G(t))$, niin

$h'(t) = \nabla f(G(t)) \cdot G'(t),$

missä $\nabla f(x, y)$ on funktion $f(x, y)$ gradientti ja $G'(t)$ on $G(t)$:n derivaatta. Lasketaan nämä osat:

1. Gradientti $\nabla f(x, y)$: Funktio $f(x, y) = \arctan \left( \frac{y}{x} \right)$ on implisiittinen funktio, joten sen gradientti voidaan laskea osittaisderivaatalla. Lasketaan ensin osittaisderivaatat $x$:n ja $y$:n suhteen:

   $\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{y}{x^2 + y^2}, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x}{x^2 + y^2}.$

   Siis

   $\nabla f(x, y) = \left( -\frac{y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2} \right).$

2. Derivaatta $G'(t)$: $G(t) = (\cos t, \sin t)$, joten sen derivaatta on:

   $G'(t) = (-\sin t, \cos t).$

3. Derivaatta $h'(t)$: Nyt voimme laskea $h'(t)$:

   $h'(t) = \nabla f(G(t)) \cdot G'(t) = \left( -\frac{\sin t}{\cos^2 t + \sin^2 t}, \frac{\cos t}{\cos^2 t + \sin^2 t} \right) \cdot (-\sin t, \cos t).$

   Koska $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$, saamme:

   $h'(t) = \left( -\sin t, \cos t \right) \cdot (-\sin t, \cos t).$

   Lasketaan pistetulo:

   $h'(t) = (-\sin t)(-\sin t) + (\cos t)(\cos t) = \sin^2 t + \cos^2 t = 1.$

Näin ollen yhdistetyn funktion $h(t)$ derivaatta on:

$h'(t) = 1.$

Yhteenveto: Funktio $h(t) = \arctan(\tan t)$ on hyvin määritelty ja sen derivaatta on $h'(t) = 1$, paitsi silloin, kun $t = \frac{\pi}{2} + n\pi$, koska tällöin $\cos t = 0$.

Onko tämä selkeä? Tarvitsetko tarkennuksia tai lisäkysymyksiä?

1. Miten ketjusääntöä sovelletaan muissa parametrisoiduissa funktioissa?
2. Mitä tarkoittaa, että arkustangentin arvot ovat välillä $\left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$?
3. Miten tarkastella funktion määrittelyä epäjatkuvuuspisteiden ympärillä?
4. Mikä on $\arctan \left( \tan t \right)$ funktio monivaiheisena (pieninä ja suurina $t$-arvoina)?
5. Mitä tapahtuu, jos $t$ on $\frac{\pi}{2} + n\pi$?

Vinkki: Jos funktio on määritelty tietyllä välin ulkopuolella, kuten $\arctan$ kanssa, on tärkeää ymmärtää, miten funktio kääntää arvot takaisin haluttuun väliin!