Rozważamy pochodną funkcji $f(x) = x e^{\frac{1}{x-2}} + 1$.

1. Wyznaczanie pochodnej

Funkcja składa się z dwóch składników:

• $g(x) = x e^{\frac{1}{x-2}}$,
• $h(x) = 1$.

Pochodna $h(x)$ jest równa 0, więc skupiamy się na $g(x)$.

Pochodna $g(x) = x e^{\frac{1}{x-2}}$ (reguła iloczynu):

Pochodna iloczynu dwóch funkcji $u(x) \cdot v(x)$ jest równa: $(u \cdot v)' = u'v + uv'.$ W naszym przypadku:

• $u(x) = x$,
• $v(x) = e^{\frac{1}{x-2}}$.

Krok 1. Pochodna $u(x) = x$: $u'(x) = 1.$

Krok 2. Pochodna $v(x) = e^{\frac{1}{x-2}}$:
Stosujemy regułę łańcuchową. Jeśli $v(x) = e^{h(x)}$, to $v'(x) = e^{h(x)} \cdot h'(x)$.
Tutaj $h(x) = \frac{1}{x-2}$, więc: $h'(x) = -\frac{1}{(x-2)^2}.$ Zatem: $v'(x) = e^{\frac{1}{x-2}} \cdot \left(-\frac{1}{(x-2)^2}\right).$

Krok 3. Zastosowanie reguły iloczynu: $g'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).$ Podstawiając, mamy: $g'(x) = 1 \cdot e^{\frac{1}{x-2}} + x \cdot e^{\frac{1}{x-2}} \cdot \left(-\frac{1}{(x-2)^2}\right).$ Upraszczając: $g'(x) = e^{\frac{1}{x-2}} - \frac{x e^{\frac{1}{x-2}}}{(x-2)^2}.$

Pochodna $h(x) = 1$:

$h'(x) = 0.$

2. Ostateczna postać pochodnej

$f'(x) = g'(x) + h'(x),$ czyli: $f'(x) = e^{\frac{1}{x-2}} - \frac{x e^{\frac{1}{x-2}}}{(x-2)^2}.$

---

Czy chcesz, żebym wyjaśnił poszczególne kroki bardziej szczegółowo lub pomógł w czymś dodatkowym? 😊

Pięć powiązanych pytań:

1. Jak obliczyć pochodną funkcji wykładniczej w innych przykładach?
2. Czy można uprościć wyrażenie $f'(x)$ jeszcze bardziej?
3. Jak narysować wykres funkcji $f(x)$ oraz $f'(x)$?
4. Co się dzieje, gdy $x \to 2$ w funkcji $f(x)$?
5. Jak obliczyć punkty krytyczne dla tej funkcji?

Jedna wskazówka:

Pamiętaj, że przy obliczaniu pochodnych złożonych wyrażeń reguła łańcuchowa jest kluczowa dla funkcji wykładniczych i wymiernych.