Jika f(x) = (1 – 4x) cos (x + π/4) dan f'(x) adalah turunan pertama dari fungsi f(x), maka nilai dari f'(π/4) adalah ….

Diketahui fungsi \( f(x) = (1 - 4x) \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \). Untuk mencari nilai \( f'(x) \), kita harus menggunakan aturan turunan produk karena fungsi ini merupakan hasil kali dari dua fungsi, yaitu \( (1 - 4x) \) dan \( \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \).

Langkah pertama: Gunakan aturan turunan produk:
\[
f'(x) = (u \cdot v)' = u'v + uv'
\]
Di sini, \( u(x) = 1 - 4x \) dan \( v(x) = \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \).

### Langkah 1: Turunkan \( u(x) = 1 - 4x \)
\[
u'(x) = -4
\]

### Langkah 2: Turunkan \( v(x) = \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \)
Turunan dari \( \cos(x) \) adalah \( -\sin(x) \), jadi:
\[
v'(x) = -\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)
\]

### Langkah 3: Terapkan aturan produk
Sekarang, kita terapkan aturan produk:
\[
f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
\]
Substitusikan \( u'(x) = -4 \), \( u(x) = 1 - 4x \), \( v(x) = \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \), dan \( v'(x) = -\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \):
\[
f'(x) = (-4) \cdot \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) + (1 - 4x) \cdot \left( -\sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \right)
\]
\[
f'(x) = -4 \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) - (1 - 4x) \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)
\]

### Langkah 4: Substitusi \( x = \frac{\pi}{4} \)
Sekarang, kita substitusi \( x = \frac{\pi}{4} \) ke dalam persamaan turunan:
\[
f'\left( \frac{\pi}{4} \right) = -4 \cos \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) - (1 - 4 \cdot \frac{\pi}{4}) \sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right)
\]
\[
f'\left( \frac{\pi}{4} \right) = -4 \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) - \left( 1 - \pi \right) \sin \left( \frac{\pi}{2} \right)
\]
Kita tahu bahwa:
\[
\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0 \quad \text{dan} \quad \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1
\]
Sehingga persamaan menjadi:
\[
f'\left( \frac{\pi}{4} \right) = -4 \cdot 0 - (1 - \pi) \cdot 1
\]
\[
f'\left( \frac{\pi}{4} \right) = -(1 - \pi)
\]
\[
f'\left( \frac{\pi}{4} \right) = \pi - 1
\]

Jadi, nilai dari \( f' \left( \frac{\pi}{4} \right) \) adalah \( \pi - 1 \).

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara menemukan turunan kedua dari fungsi \( f(x) \)?
2. Bagaimana cara menghitung turunan fungsi trigonometri lainnya?
3. Apa perbedaan antara aturan rantai dan aturan produk dalam turunan?
4. Bagaimana penggunaan aturan rantai pada fungsi komposisi trigonometri?
5. Bagaimana cara menemukan nilai ekstrem suatu fungsi dengan menggunakan turunan?

**Tip:** Saat menghitung turunan fungsi yang melibatkan hasil kali, aturan produk adalah alat yang sangat penting untuk memastikan hasil yang benar.

Jika f(x) = (1 – 4x) cos (x + π/4) dan f'(x) adalah turunan pertama dari fungsi f(x), maka nilai dari f'(π/4) adalah …. 

Learn how to find the derivative of the function f(x) = (1 - 4x) cos(x + π/4) using the product rule and evaluate f'(π/4). This calculus problem involves trigonometric functions and the product rule, making it suitable for students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation