Laten we stap voor stap controleren of de gegeven uitkomst klopt en hoe we hieraan kunnen komen.

De functie is:

$f(x) = \arcsin(\sqrt{1 - x^2})$

We willen de afgeleide van deze functie bepalen. Dit doen we met de kettingregel en de afgeleide van de arcsinusfunctie.

Stap 1: Buitenste functie - de afgeleide van $\arcsin(u)$

De afgeleide van $\arcsin(u)$ met betrekking tot $u$ is:

$\frac{d}{du} \arcsin(u) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$

Hier is $u = \sqrt{1 - x^2}$, dus we moeten deze functie ook afleiden ten opzichte van $x$.

Stap 2: Binnenste functie - de afgeleide van $\sqrt{1 - x^2}$

De functie $u = \sqrt{1 - x^2}$ heeft als afgeleide:

$\frac{d}{dx} \sqrt{1 - x^2} = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$

Stap 3: Toepassen van de kettingregel

De afgeleide van $f(x) = \arcsin(\sqrt{1 - x^2})$ wordt dus:

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{1 - x^2})^2}} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$

Nu vereenvoudigen we de term $\sqrt{1 - (\sqrt{1 - x^2})^2}$:

1. $(\sqrt{1 - x^2})^2 = 1 - x^2$,
2. Dus $1 - (1 - x^2) = x^2$,
3. en $\sqrt{x^2} = |x|$.

We krijgen dus:

$f'(x) = \frac{1}{|x|} \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{-x}{|x| \sqrt{1 - x^2}}$

Eindresultaat

Vereenvoudig deze breuk:

$f'(x) = -\frac{|x|}{\sqrt{2 - x^2}}$

Dus