Math Problem Statement

найти производную y=(x*arcsin(x))/(корень из (1-x^2))

Solution

Для нахождения производной функции y=xarcsin(x)1x2y = \frac{x \cdot \arcsin(x)}{\sqrt{1 - x^2}}, применим правила дифференцирования: правило произведения, правило частного и формулу для производной арксинуса.

  1. Запишем функцию: y=xarcsin(x)1x2y = \frac{x \cdot \arcsin(x)}{\sqrt{1 - x^2}}

  2. Применим правило частного: Если y=u(x)v(x)y = \frac{u(x)}{v(x)}, то производная будет вычисляться по формуле: y=v(x)u(x)u(x)v(x)(v(x))2y' = \frac{v(x) \cdot u'(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^2} Где u(x)=xarcsin(x)u(x) = x \cdot \arcsin(x) и v(x)=1x2v(x) = \sqrt{1 - x^2}.

  3. Найдем производные u(x)u(x) и v(x)v(x):

    • Для v(x)=1x2v(x) = \sqrt{1 - x^2}, используя правило дифференцирования составной функции, получаем: v(x)=x1x2v'(x) = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}

    • Для u(x)=xarcsin(x)u(x) = x \cdot \arcsin(x), применяем правило произведения: u(x)=arcsin(x)+x11x2u'(x) = \arcsin(x) + x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} где производная arcsin(x)\arcsin(x) равна 11x2\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.

  4. Теперь подставим в формулу для производной:

    y=1x2(arcsin(x)+x11x2)xarcsin(x)x1x2(1x2)y' = \frac{\sqrt{1 - x^2} \cdot \left( \arcsin(x) + x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) - x \cdot \arcsin(x) \cdot \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}}{(1 - x^2)}

  5. Упростим выражение:

    Приведем к общему знаменателю: y=1x2arcsin(x)+x11x21x2xarcsin(x)(x1x2)(1x2)y' = \frac{\sqrt{1 - x^2} \cdot \arcsin(x) + x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \cdot \sqrt{1 - x^2} - x \cdot \arcsin(x) \cdot \left( -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \right)}{(1 - x^2)} Упростим: y=1x2arcsin(x)+xx2arcsin(x)(1x2)3/2y' = \frac{\sqrt{1 - x^2} \cdot \arcsin(x) + x - x^2 \cdot \arcsin(x)}{(1 - x^2)^{3/2}}

  6. Итоговый ответ: y=arcsin(x)(1x2)+x(1x2)3/2y' = \frac{\arcsin(x) \cdot (1 - x^2) + x}{(1 - x^2)^{3/2}}

Если нужны дополнительные пояснения или подробности, не стесняйтесь спрашивать!

Дополнительные вопросы:

  1. Как вычислить предел функции с арксинусом?
  2. Как применять правило Лопиталя для предела с арксинусом?
  3. Что происходит с производной, когда x=0x = 0?
  4. Как найти производную для сложной функции с несколькими переменными?
  5. Как найти вторую производную для подобных функций?

Совет: При дифференцировании сложных дробей важно сначала выделить числитель и знаменатель, а затем применить правила дифференцирования для каждого из них.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Differentiation
Trigonometric Functions
Inverse Trigonometric Functions
Chain Rule
Product Rule
Quotient Rule

Formulas

Derivative of arcsin(x): d/dx(arcsin(x)) = 1/sqrt(1 - x^2)
Product Rule: d/dx(u(x) * v(x)) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)
Quotient Rule: d/dx(u(x)/v(x)) = (v(x) * u'(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))^2

Theorems

Product Rule
Quotient Rule
Chain Rule

Suitable Grade Level

Grades 11-12