Laten we de functie $f(x) = \frac{\sqrt[3]{x^2}}{3x}$ differentiëren. Om dit te doen, herschrijven we de functie op een manier die differentiatie eenvoudiger maakt:

$f(x) = \frac{\left(x^2\right)^{1/3}}{3x} = \frac{x^{2/3}}{3x} = \frac{1}{3} x^{2/3 - 1} = \frac{1}{3} x^{-1/3}$

Nu differentiëren we de functie $f(x) = \frac{1}{3} x^{-1/3}$:

$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{dx} \left( x^{-1/3} \right)$

Gebruik de machtsregel voor differentiatie $\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$:

$\frac{d}{dx} \left( x^{-1/3} \right) = -\frac{1}{3} x^{-1/3 - 1} = -\frac{1}{3} x^{-4/3}$

Dus, de afgeleide van $f(x)$ is:

$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot \left( -\frac{1}{3} x^{-4/3} \right) = -\frac{1}{9} x^{-4/3}$

We kunnen dit verder vereenvoudigen door de negatieve exponent om te schrijven als een breuk:

$f'(x) = -\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{x^{4/3}} = -\frac{1}{9x^{4/3}}$

Dus, de afgeleide van de functie $f(x) = \frac{\sqrt[3]{x^2}}{3x}$ is:

$f'(x) = -\frac{1}{9x^{4/3}}$

Wil je nog verdere details of heb je vragen?

Hier zijn 8 gerelateerde vragen om je kennis verder uit te breiden:

1. Wat is de machtsregel voor differentiatie en hoe pas je deze toe?
2. Hoe differentieer je functies met wortels en machten?
3. Wat zijn de basisregels voor differentiëren (zoals de somregel, productregel en quotiëntregel)?
4. Hoe bepaal je de afgeleide van samengestelde functies (kettingregel)?
5. Wat is de geometrische betekenis van de afgeleide van een functie?
6. Kun je voorbeelden geven van toepassingen van afgeleiden in de praktijk?
7. Hoe differentieer je impliciete functies?
8. Wat zijn de hogere afgeleiden van een functie en hoe bereken je deze?

Tip: Oefen met het differentiëren van een verscheidenheid aan functies om vertrouwd te raken met de verschillende regels en technieken voor differentiatie.