Para demostrar que $-(-a) = a$ sin usar la propiedad $(-1)a = -a$, nos basaremos únicamente en los axiomas de campo, en particular los axiomas de identidad y de inverso aditivo.

Demostración:

1. Por el axioma de identidad aditiva, sabemos que existe un elemento $0$ en el campo tal que, para cualquier elemento $a$, $a + 0 = a.$

2. Por el axioma del inverso aditivo, para cada elemento $a$ en el campo, existe un elemento opuesto $-a$ tal que $a + (-a) = 0.$

3. Ahora, dado el elemento $-a$, el axioma de inverso aditivo garantiza que existe un opuesto de $-a$, que denotaremos como $-(-a)$, tal que $-a + (-(-a)) = 0.$

4. Observemos que $a + (-a) = 0$ y también $-a + (-(-a)) = 0$. Entonces, dado que la suma en el campo es única (es decir, si $b + c = 0$ y $b' + c = 0$, entonces $b = b'$), podemos concluir que $a = -(-a).$

Esto demuestra que $-(-a) = a$ sin necesidad de usar que $(-1)a = -a$. La demostración se basa únicamente en los axiomas de campo.

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna pregunta sobre los axiomas utilizados?

Preguntas Relacionadas:

1. ¿Qué son los axiomas de campo y cómo se aplican en demostraciones algebraicas?
2. ¿Por qué es único el inverso aditivo en un campo?
3. ¿Qué otros resultados pueden probarse sin usar propiedades específicas de multiplicación por $-1$?
4. ¿Cómo se demuestra que el inverso de un elemento inverso vuelve al elemento original?
5. ¿Cuáles son las consecuencias de los axiomas de identidad y de inverso en la estructura de un campo?

Tip: Al demostrar propiedades, es útil centrarse en los axiomas fundamentales y las operaciones básicas, evitando resultados derivados si la demostración lo requiere.