Para demostrar que $(-a) + (-b) = -(a + b)$ utilizando únicamente los axiomas de campo, procedemos paso a paso:

Axiomas utilizados:

1. Existencia del neutro aditivo: Existe un elemento $0$ tal que $a + 0 = a$ para todo $a$.
2. Existencia del inverso aditivo: Para todo $a$ existe un elemento $-a$ tal que $a + (-a) = 0$.
3. Asociatividad de la suma: $(a + b) + c = a + (b + c)$ para todo $a, b, c$.
4. Conmutatividad de la suma: $a + b = b + a$ para todo $a, b$.
5. Definición del opuesto: $-(x)$ denota el inverso aditivo de $x$, tal que $x + (-x) = 0$.

Demostración:

Queremos probar que: $(-a) + (-b) = -(a + b).$

1. Definición del opuesto de $a + b$: Por la definición de $-(a+b)$, sabemos que: (a + b) + -(a + b) = 0. \tag{1}

2. Suma de $(-a)$ y $(-b)$: Consideremos la expresión $(-a) + (-b)$. Queremos probar que es igual a $-(a+b)$. Para ello, sumemos $(a+b)$ a $(-a) + (-b)$ y demostremos que el resultado es $0$, lo que probará que $(-a) + (-b)$ es el inverso aditivo de $(a+b)$.

3. Reescribamos $(a+b) + (-a) + (-b)$: Usamos la propiedad asociativa para reagrupar términos: $(a + b) + (-a) + (-b) = (a + (-a)) + (b + (-b)).$

4. Aplicamos la definición del inverso aditivo: Por el axioma de existencia del inverso aditivo, $a + (-a) = 0$ y $b + (-b) = 0$. Sustituyendo, obtenemos: $(a + (-a)) + (b + (-b)) = 0 + 0.$

5. Simplificamos el resultado: $0 + 0 = 0.$

6. Conclusión: Como $(a+b) + ((-a) + (-b)) = 0$, se cumple que $(-a) + (-b)$ es el inverso aditivo de $(a+b)$. Por definición del inverso aditivo, esto implica: $(-a) + (-b) = -(a + b).$

Respuesta final:

Por lo tanto, hemos demostrado que: $(-a) + (-b) = -(a + b).$

¿Te gustaría que explique algún paso en mayor detalle o tienes alguna pregunta?

Preguntas relacionadas:

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Tip:

Siempre verifica cada paso utilizando los axiomas básicos para garantizar la validez en sistemas más abstractos como los cuerpos.