Teorema de moivre , obtén las potencias con la formula de moivre , ( cos 15 grados + i sen 15 grados ) 3 

El Teorema de Moivre establece que si tienes un número complejo en forma polar \( z = r (\cos \theta + i \sin \theta) \), entonces las potencias de este número pueden calcularse con la fórmula:

\[
z^n = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))
\]

Dado que el número complejo que mencionas es \( \cos(15^\circ) + i \sin(15^\circ) \), podemos asumir que el módulo \( r \) es 1, ya que el número está dado en la forma trigonométrica usual.

### Aplicamos el Teorema de Moivre para \( n = 3 \):

\[
z^3 = (\cos(15^\circ) + i \sin(15^\circ))^3
\]

Usamos la fórmula del teorema:

\[
z^3 = 1^3 \left(\cos(3 \cdot 15^\circ) + i \sin(3 \cdot 15^\circ)\right)
\]

Esto se simplifica a:

\[
z^3 = \cos(45^\circ) + i \sin(45^\circ)
\]

Sabemos que:

\[
\cos(45^\circ) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Por lo tanto:

\[
z^3 = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Este es el resultado de elevar el número complejo \( \cos(15^\circ) + i \sin(15^\circ) \) al cubo.

---

¿Te gustaría que te dé más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se deriva el Teorema de Moivre?
2. ¿Cuál es el significado geométrico de elevar un número complejo?
3. ¿Cómo calcular potencias de números complejos en forma rectangular?
4. ¿Qué aplicaciones tiene el Teorema de Moivre en trigonometría?
5. ¿Cómo se usa el Teorema de Moivre para encontrar raíces de números complejos?

### Tip:
Recuerda que la fórmula de Moivre se extiende también para raíces de números complejos, lo cual es útil para descomponer números en sus componentes primarios.

Teorema de moivre , obtén las potencias con la formula de moivre , ( cos 15 grados + i sen 15 grados ) 3

Learn how to use De Moivre's Theorem to calculate the cube of the complex number (cos 15° + i sin 15°). This detailed solution covers complex numbers, trigonometric identities, and shows step-by-step how to apply the formula z^n = r^n (cos(nθ) + i sin(nθ)). Suitable for high school students in Grades 10-12.

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