Para resolver estas expresiones, primero vamos a recordar que las expresiones del tipo $(\cos \theta + i \sin \theta)^n$ se pueden resolver usando la fórmula de De Moivre. Esta fórmula establece que:

$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$

1. $(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ)^6$

Aplicamos la fórmula de De Moivre:

$(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ)^6 = \cos(6 \times 10^\circ) + i \sin(6 \times 10^\circ)$

$= \cos(60^\circ) + i \sin(60^\circ)$

Sabemos que:

$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}, \quad \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Por lo tanto:

$(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ)^6 = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$

---

2. $(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)^4$

Aplicamos de nuevo la fórmula de De Moivre:

$(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)^4 = \cos(4 \times 60^\circ) + i \sin(4 \times 60^\circ)$

$= \cos(240^\circ) + i \sin(240^\circ)$

Sabemos que:

$\cos(240^\circ) = -\frac{1}{2}, \quad \sin(240^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Por lo tanto:

$(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)^4 = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. $(\cos (-30^\circ) + i \sin (-30^\circ))^2$

Aplicamos nuevamente la fórmula de De Moivre:

$(\cos (-30^\circ) + i \sin (-30^\circ))^2 = \cos(2 \times (-30^\circ)) + i \sin(2 \times (-30^\circ))$

$= \cos(-60^\circ) + i \sin(-60^\circ)$

Sabemos que:

$\cos(-60^\circ) = \frac{1}{2}, \quad \sin(-60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Por lo tanto:

$(\cos (-30^\circ) + i \sin (-30^\circ))^2 = \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}$

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Si tienes alguna duda o necesitas más detalles, estaré encantado de ayudarte. ¿Te gustaría alguna explicación adicional o más detalles sobre algún paso?

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Tip: Siempre es útil recordar los valores exactos de seno y coseno para ángulos comunes (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) ya que aparecen frecuentemente en problemas de trigonometría.