Y estos por separado , ( cos 10 ∘  +  i sen  10 ∘ ) 6                                                                                                                       ( cos 60 ∘ +  i sen 60 ∘ ) 4                                                                                                                                                              ( cos ( - 30 ∘)  + sen ( - 30 ∘) ) 2  estos por separado

Para resolver estas expresiones, primero vamos a recordar que las expresiones del tipo \((\cos \theta + i \sin \theta)^n\) se pueden resolver usando la **fórmula de De Moivre**. Esta fórmula establece que:

\[
(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)
\]

### 1. \((\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ)^6\)

Aplicamos la fórmula de De Moivre:

\[
(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ)^6 = \cos(6 \times 10^\circ) + i \sin(6 \times 10^\circ)
\]

\[
= \cos(60^\circ) + i \sin(60^\circ)
\]

Sabemos que:

\[
\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}, \quad \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Por lo tanto:

\[
(\cos 10^\circ + i \sin 10^\circ)^6 = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

---

### 2. \((\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)^4\)

Aplicamos de nuevo la fórmula de De Moivre:

\[
(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)^4 = \cos(4 \times 60^\circ) + i \sin(4 \times 60^\circ)
\]

\[
= \cos(240^\circ) + i \sin(240^\circ)
\]

Sabemos que:

\[
\cos(240^\circ) = -\frac{1}{2}, \quad \sin(240^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Por lo tanto:

\[
(\cos 60^\circ + i \sin 60^\circ)^4 = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

---

### 3. \((\cos (-30^\circ) + i \sin (-30^\circ))^2\)

Aplicamos nuevamente la fórmula de De Moivre:

\[
(\cos (-30^\circ) + i \sin (-30^\circ))^2 = \cos(2 \times (-30^\circ)) + i \sin(2 \times (-30^\circ))
\]

\[
= \cos(-60^\circ) + i \sin(-60^\circ)
\]

Sabemos que:

\[
\cos(-60^\circ) = \frac{1}{2}, \quad \sin(-60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Por lo tanto:

\[
(\cos (-30^\circ) + i \sin (-30^\circ))^2 = \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

---

Si tienes alguna duda o necesitas más detalles, estaré encantado de ayudarte. ¿Te gustaría alguna explicación adicional o más detalles sobre algún paso?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas que podrían interesarte:
1. ¿Cómo se aplica la fórmula de De Moivre en problemas más complejos?
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4. ¿Cómo podemos usar De Moivre para encontrar raíces complejas?
5. ¿Cómo se expresan estos números complejos en forma polar?

**Tip:** Siempre es útil recordar los valores exactos de seno y coseno para ángulos comunes (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) ya que aparecen frecuentemente en problemas de trigonometría.

Y estos por separado , ( cos 10 ∘  +  i sen  10 ∘ ) 6  ( cos 60 ∘ +  i sen 60 ∘ ) 4  ( cos ( - 30 ∘)  + sen ( - 30 ∘) ) 2  estos por separado

Discover how to solve complex number expressions like (cos 10° + i sin 10°)^6, (cos 60° + i sin 60°)^4, and (cos(-30°) + i sin(-30°))^2 using De Moivre's Theorem. This step-by-step solution is suitable for high school students, covering key concepts in trigonometry and complex numbers.

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