Diberikan dua vektor:

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

1) Mencari hasil dari $\mathbf{A} \times \mathbf{B}$ (perkalian silang antara vektor A dan B):

Perkalian silang (cross product) antara dua vektor 3D $\mathbf{A} = (A_1, A_2, A_3)$ dan $\mathbf{B} = (B_1, B_2, B_3)$ dapat dihitung menggunakan rumus determinan:

$\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ A_1 & A_2 & A_3 \\ B_1 & B_2 & B_3 \end{vmatrix}$

Substitusikan nilai vektor $A$ dan $B$:

$\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}$

Sekarang kita ekspansi determinannya:

$\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix}$

Menghitung masing-masing determinan:

$\begin{vmatrix} -1 & 3 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = (-1)(1) - (3)(-2) = -1 + 6 = 5$

$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (2)(1) - (3)(3) = 2 - 9 = -7$

$\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = (2)(-2) - (-1)(3) = -4 + 3 = -1$

Sekarang, substitusikan hasilnya ke dalam ekspansi vektor:

$\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \mathbf{i}(5) - \mathbf{j}(-7) + \mathbf{k}(-1)$

$\mathbf{A} \times \mathbf{B} = 5\mathbf{i} + 7\mathbf{j} - \mathbf{k}$

Jadi hasil dari $\mathbf{A} \times \mathbf{B}$ adalah:

$\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}$

2) Mencari hasil dari $\mathbf{B} \times \mathbf{A}$ (perkalian silang antara vektor B dan A):

Perkalian silang memiliki sifat anti-komutatif, yaitu:

$\mathbf{B} \times \mathbf{A} = -(\mathbf{A} \times \mathbf{B})$

Jadi, hasil dari $\mathbf{B} \times \mathbf{A}$ adalah kebalikan dari $\mathbf{A} \times \mathbf{B}$:

$\mathbf{B} \times \mathbf{A} = -\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -7 \\ 1 \end{pmatrix}$

Kesimpulan:

1. $\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}$
2. $\mathbf{B} \times \mathbf{A} = \begin{pmatrix} -5 \\ -7 \\ 1 \end{pmatrix}$

Apakah Anda membutuhkan penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? Berikut beberapa pertanyaan terkait yang mungkin bermanfaat:

1. Apa yang dimaksud dengan perkalian silang antara dua vektor?
2. Bagaimana cara menghitung perkalian titik (dot product) antara dua vektor?
3. Apa yang terjadi jika dua vektor paralel dalam perkalian silang?
4. Bagaimana cara menggunakan hasil perkalian silang dalam aplikasi fisika seperti gaya dan momen?
5. Apa saja sifat-sifat dari perkalian silang vektor?