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hallar los siguientes problemas de la función dada: Los números críticos, intervalos de monotonía, los extremos locales, los números críticos de segundo orden, intervalos de concavidad, puntos de inflexión

La función dada es:

\[
G(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x
\]

Para resolver los problemas solicitados:

1. **Números críticos**: Los números críticos se encuentran al derivar la función y encontrar los puntos donde la derivada se hace cero o no existe.
   
2. **Intervalos de monotonía**: Se determinan evaluando la primera derivada para identificar dónde la función es creciente o decreciente.

3. **Extremos locales**: Los extremos locales (máximos y mínimos) se encuentran usando la primera derivada, analizando los cambios de signo de la derivada en los puntos críticos.

4. **Números críticos de segundo orden**: Se encuentran derivando nuevamente la función (segunda derivada) y evaluando los puntos donde la segunda derivada se hace cero o no existe.

5. **Intervalos de concavidad**: La concavidad se evalúa con la segunda derivada, determinando los intervalos donde la segunda derivada es positiva (cóncava hacia arriba) o negativa (cóncava hacia abajo).

6. **Puntos de inflexión**: Son los puntos donde la concavidad cambia, lo que ocurre cuando la segunda derivada cambia de signo.

Voy a proceder a calcular todo esto paso a paso.### Resolución paso a paso:

1. **Números críticos**:
   La primera derivada de la función es:

   \[
   G'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 6x - 4
   \]

   Al resolver \( G'(x) = 0 \), obtenemos los siguientes puntos críticos:

   \[
   x = -2, \quad x = -\frac{1}{2}, \quad x = 1
   \]

2. **Intervalos de monotonía**:
   Para determinar si la función es creciente o decreciente en estos intervalos, se puede evaluar la derivada \( G'(x) \) en los intervalos definidos por los puntos críticos \( (-\infty, -2) \), \( (-2, -\frac{1}{2}) \), \( (-\frac{1}{2}, 1) \), y \( (1, \infty) \).

3. **Extremos locales**:
   Los extremos locales (máximos o mínimos) ocurren en los números críticos. La naturaleza del extremo (máximo o mínimo) se determina verificando el cambio de signo de la derivada \( G'(x) \) alrededor de estos puntos críticos.

4. **Números críticos de segundo orden**:
   La segunda derivada de la función es:

   \[
   G''(x) = 12x^2 + 12x - 6
   \]

   Al resolver \( G''(x) = 0 \), obtenemos los siguientes puntos críticos de segundo orden:

   \[
   x = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}
   \]

5. **Intervalos de concavidad**:
   Se pueden determinar los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba o hacia abajo evaluando el signo de la segunda derivada \( G''(x) \).

6. **Puntos de inflexión**:
   Los puntos de inflexión, donde la concavidad cambia, son los puntos donde la segunda derivada cambia de signo, que ocurren en:

   \[
   x = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad x = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}
   \]

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o análisis? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para continuar:

1. ¿Cómo se calculan los intervalos de crecimiento y decrecimiento?
2. ¿Qué diferencia hay entre máximos y mínimos locales?
3. ¿Cómo se utilizan los puntos críticos de la segunda derivada para analizar la concavidad?
4. ¿Cuáles son los pasos para identificar puntos de inflexión?
5. ¿Qué interpretación gráfica tienen los puntos críticos de una función?

**Tip**: Los puntos de inflexión son importantes porque indican un cambio en la "curvatura" de la gráfica, lo que puede ser útil al analizar tendencias o cambios en el comportamiento de una función.

Hallar los siguientes problemas de la función dada: Los números críticos, intervalos de monotonía, los extremos locales, los números críticos de segundo orden, intervalos de concavidad, puntos de inflexión

Analyze the function G(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x. This problem covers finding critical points, intervals of monotonicity, local extrema, second-order critical numbers, concavity intervals, and inflection points. Includes detailed steps for solving using first and second derivatives.

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