https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/17260435203694t43mc4e.jpg

hallar los siguientes problemas de la función dada: Los números críticos, intervalos de monotonía, los extremos locales, los números críticos de segundo orden, intervalos de concavidad, puntos de inflexión. hacer gráfica

Para resolver los problemas solicitados para la función \( G(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x \), vamos a calcular los siguientes elementos:

1. **Números críticos**: Son los valores de \( x \) donde la derivada primera \( G'(x) \) es igual a cero o no está definida.
2. **Intervalos de monotonía**: Son los intervalos donde la función es creciente o decreciente.
3. **Extremos locales**: Máximos y mínimos locales de la función.
4. **Números críticos de segundo orden**: Son los valores de \( x \) donde la derivada segunda \( G''(x) \) es igual a cero o no está definida.
5. **Intervalos de concavidad**: Son los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
6. **Puntos de inflexión**: Son los puntos donde la concavidad de la función cambia.

Voy a calcular cada uno de estos elementos paso a paso, y luego graficaré la función. 

### Paso 1: Derivadas Primera y Segunda

La derivada primera de \( G(x) \) es:

\[
G'(x) = \frac{d}{dx}(x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x)
\]

La derivada segunda de \( G(x) \) es:

\[
G''(x) = \frac{d}{dx}G'(x)
\]

Procederé a calcular estas derivadas ahora.Las derivadas de la función \( G(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x \) son:

1. **Derivada primera**: 
   \[
   G'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 6x - 4
   \]

2. **Derivada segunda**: 
   \[
   G''(x) = 12x^2 + 12x - 6
   \]

### Paso 2: Números críticos

Los números críticos de \( G(x) \) se encuentran resolviendo \( G'(x) = 0 \). Vamos a calcular los valores de \( x \) para los cuales la derivada primera es cero.It seems like I can’t do more advanced data analysis right now. Please try again later.

However, I can guide you through solving this manually:

### Finding Critical Numbers
1. **Set the first derivative to zero**:
   \[
   G'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 6x - 4 = 0
   \]

2. **Solve for \( x \)** to find the critical points. This is a cubic equation that you can solve using factoring or a numerical method.

Would you like to proceed with further guidance on how to solve this manually, or try again later for a complete computation? 

Here are some related questions to consider:
1. How can you solve cubic equations analytically?
2. What is the significance of the second derivative in determining concavity?
3. How do you classify critical points as maxima, minima, or saddle points?
4. What methods can be used to graph polynomial functions accurately?
5. How can the behavior of a polynomial's derivative indicate its inflection points?

**Tip**: Knowing how to differentiate and find zeros of functions is key to analyzing their behavior!

Explore the detailed analysis of the polynomial function G(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 4x. Learn about its critical points, intervals of monotonicity, local extremes, second-order critical points, intervals of concavity, and inflection points. This comprehensive guide includes step-by-step calculations of derivatives and their applications.

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