$A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 7\}$ kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı rakamları farklı kaç farklı çift doğal sayı yazılabileceğini bulalım.

Bir üç basamaklı sayının çift olabilmesi için birler basamağındaki rakamın çift olması gerekir. Kümedeki çift sayılar $\{0, 2, 4\}$'tür.

Bu soruyu iki duruma ayırarak çözeceğiz:

1. Birler basamağı 0 olanlar
2. Birler basamağı 2 veya 4 olanlar

1. Birler basamağı 0 olan sayılar

Birler basamağı 0 olduğunda, yüzler ve onlar basamaklarına farklı rakamlar seçmeliyiz.

• Yüzler basamağı için 0 dışındaki rakamlardan (çünkü üç basamaklı bir sayı için başta 0 olamaz) seçim yapacağız: $\{1, 2, 3, 4, 5, 7\}$. Yani 6 seçenek var.
• Onlar basamağı için ise, daha önce kullandığımız rakam dışında kalanlardan seçim yapacağız. Geriye 5 seçenek kalıyor.

Bu durumda, birler basamağı 0 olduğunda toplam kombinasyon sayısı: $6 \times 5 = 30$

2. Birler basamağı 2 veya 4 olan sayılar

Birler basamağı 2 veya 4 olabilir, yani bu iki durum ayrı ayrı ele alınabilir.

• Birler basamağı 2 veya 4 olduğunda, yüzler basamağı için $\{1, 3, 4, 5, 7\}$ (çünkü başta 0 olamaz ve birler basamağında 2 veya 4 kullanılamaz) kümesinden seçim yapılır. Bu durumda 5 seçenek vardır.
• Onlar basamağı için ise geriye kalan 5 rakamdan seçim yapılır.

Her iki durum (birler basamağı 2 veya 4) için kombinasyon sayısı: $5 \times 5 = 25$ Ve bu iki durum olduğu için: $25 + 25 = 50$

Toplam Farklı Çift Doğal Sayı Sayısı

Sonuç olarak, her iki durumu toplarsak: $30 + 50 = 80$ Yani, bu kümenin elemanları kullanılarak yazılabilecek toplam 80 farklı çift üç basamaklı doğal sayı vardır.

Sorular:

1. Rakamları farklı tek basamaklı kaç doğal sayı yazılabilir?
2. Yüzler basamağı sabit seçildiğinde kaç farklı çift sayı yazılabilir?
3. Eğer sadece üç basamaklı tek sayılar sorulsaydı kaç tane olurdu?
4. Rakamlar aynı olsa kaç farklı üç basamaklı çift sayı yazılabilirdi?
5. Başka bir rakam kümesi verilseydi sonuç nasıl değişirdi?

İpucu: Çift bir sayı, her zaman son basamağı 0, 2, 4, 6 veya 8 olan bir sayıdır.