Math Problem Statement

Hỏi có bao nhiêu số có n chữ số với các chữ số nằm trong tập {1,2,3,4,5} mà 2 chữ số liên tiếp hơn kém nhau đúng 1 đơn vị.

Solution

Chúng ta cần đếm có bao nhiêu số có nn chữ số với các chữ số nằm trong tập {1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\}, thỏa mãn điều kiện là hai chữ số liên tiếp hơn kém nhau đúng 1 đơn vị.

Phương pháp tiếp cận:

  1. Gọi aia_i là chữ số ở vị trí thứ ii của một số bất kỳ. Với mỗi ii, ta biết rằng ai{1,2,3,4,5}a_i \in \{1, 2, 3, 4, 5\}.
  2. Điều kiện "hai chữ số liên tiếp hơn kém nhau đúng 1 đơn vị" có nghĩa là:
    • Nếu ai=1a_i = 1, thì ai+1a_{i+1} phải là 2.
    • Nếu ai=2a_i = 2, thì ai+1a_{i+1} có thể là 1 hoặc 3.
    • Nếu ai=3a_i = 3, thì ai+1a_{i+1} có thể là 2 hoặc 4.
    • Nếu ai=4a_i = 4, thì ai+1a_{i+1} có thể là 3 hoặc 5.
    • Nếu ai=5a_i = 5, thì ai+1a_{i+1} phải là 4.

Tạo bảng động:

Ta sẽ dùng một bảng động để lưu kết quả tạm thời cho bài toán này. Gọi f(i,x)f(i, x) là số lượng các số có ii chữ số kết thúc bằng chữ số xx.

  • Cơ sở quy hoạch động:

    • Với i=1i = 1, các số có 1 chữ số có thể là 1, 2, 3, 4, 5, nên: f(1,x)=1với mọix{1,2,3,4,5}.f(1, x) = 1 \quad \text{với mọi} \quad x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}.
  • Quy tắc chuyển trạng thái:

    • Với i2i \geq 2, để tính f(i,x)f(i, x), ta có thể dùng: f(i,1)=f(i1,2),f(i, 1) = f(i-1, 2), f(i,2)=f(i1,1)+f(i1,3),f(i, 2) = f(i-1, 1) + f(i-1, 3), f(i,3)=f(i1,2)+f(i1,4),f(i, 3) = f(i-1, 2) + f(i-1, 4), f(i,4)=f(i1,3)+f(i1,5),f(i, 4) = f(i-1, 3) + f(i-1, 5), f(i,5)=f(i1,4).f(i, 5) = f(i-1, 4).

Tổng số các số có nn chữ số:

Số lượng tổng quát các số có nn chữ số thỏa mãn điều kiện đã cho sẽ là tổng của tất cả các giá trị f(n,x)f(n, x) với x{1,2,3,4,5}x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}: Tổng=f(n,1)+f(n,2)+f(n,3)+f(n,4)+f(n,5).\text{Tổng} = f(n, 1) + f(n, 2) + f(n, 3) + f(n, 4) + f(n, 5).

Kết luận:

Để tìm số lượng các số có nn chữ số với điều kiện hai chữ số liên tiếp hơn kém nhau đúng 1 đơn vị, ta có thể sử dụng phương pháp quy hoạch động và công thức chuyển trạng thái như đã mô tả ở trên.

Bạn có muốn mình giải thích thêm chi tiết về cách triển khai thuật toán này không?


  1. Làm thế nào để tính toán số lượng khi thay đổi kích thước của tập chữ số?
  2. Điều gì xảy ra nếu ta thay đổi điều kiện giữa các chữ số liên tiếp?
  3. Có bao nhiêu số có 3 chữ số thoả mãn điều kiện đề bài?
  4. Làm thế nào để mở rộng bài toán cho tập chữ số lớn hơn {1,2,3,4,5}?
  5. Nếu các chữ số không phải là số mà là các ký tự, bài toán sẽ thay đổi thế nào?

Mẹo: Khi giải quyết các bài toán tổ hợp có quy tắc chuyển trạng thái giữa các phần tử liên tiếp, sử dụng quy hoạch động giúp tiết kiệm thời gian tính toán và đảm bảo độ chính xác.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Combinatorics
Dynamic Programming
State Transition

Formulas

f(i, 1) = f(i-1, 2)
f(i, 2) = f(i-1, 1) + f(i-1, 3)
f(i, 3) = f(i-1, 2) + f(i-1, 4)
f(i, 4) = f(i-1, 3) + f(i-1, 5)
f(i, 5) = f(i-1, 4)
Tổng = f(n, 1) + f(n, 2) + f(n, 3) + f(n, 4) + f(n, 5)

Theorems

State Transition Method

Suitable Grade Level

Grades 11-12