Math Problem Statement
Hỏi có bao nhiêu số có n chữ số với các chữ số nằm trong tập {1,2,3,4,5} mà 2 chữ số liên tiếp hơn kém nhau đúng 1 đơn vị.
Solution
Chúng ta cần đếm có bao nhiêu số có chữ số với các chữ số nằm trong tập , thỏa mãn điều kiện là hai chữ số liên tiếp hơn kém nhau đúng 1 đơn vị.
Phương pháp tiếp cận:
- Gọi là chữ số ở vị trí thứ của một số bất kỳ. Với mỗi , ta biết rằng .
- Điều kiện "hai chữ số liên tiếp hơn kém nhau đúng 1 đơn vị" có nghĩa là:
- Nếu , thì phải là 2.
- Nếu , thì có thể là 1 hoặc 3.
- Nếu , thì có thể là 2 hoặc 4.
- Nếu , thì có thể là 3 hoặc 5.
- Nếu , thì phải là 4.
Tạo bảng động:
Ta sẽ dùng một bảng động để lưu kết quả tạm thời cho bài toán này. Gọi là số lượng các số có chữ số kết thúc bằng chữ số .
-
Cơ sở quy hoạch động:
- Với , các số có 1 chữ số có thể là 1, 2, 3, 4, 5, nên:
-
Quy tắc chuyển trạng thái:
- Với , để tính , ta có thể dùng:
Tổng số các số có chữ số:
Số lượng tổng quát các số có chữ số thỏa mãn điều kiện đã cho sẽ là tổng của tất cả các giá trị với :
Kết luận:
Để tìm số lượng các số có chữ số với điều kiện hai chữ số liên tiếp hơn kém nhau đúng 1 đơn vị, ta có thể sử dụng phương pháp quy hoạch động và công thức chuyển trạng thái như đã mô tả ở trên.
Bạn có muốn mình giải thích thêm chi tiết về cách triển khai thuật toán này không?
- Làm thế nào để tính toán số lượng khi thay đổi kích thước của tập chữ số?
- Điều gì xảy ra nếu ta thay đổi điều kiện giữa các chữ số liên tiếp?
- Có bao nhiêu số có 3 chữ số thoả mãn điều kiện đề bài?
- Làm thế nào để mở rộng bài toán cho tập chữ số lớn hơn {1,2,3,4,5}?
- Nếu các chữ số không phải là số mà là các ký tự, bài toán sẽ thay đổi thế nào?
Mẹo: Khi giải quyết các bài toán tổ hợp có quy tắc chuyển trạng thái giữa các phần tử liên tiếp, sử dụng quy hoạch động giúp tiết kiệm thời gian tính toán và đảm bảo độ chính xác.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Combinatorics
Dynamic Programming
State Transition
Formulas
f(i, 1) = f(i-1, 2)
f(i, 2) = f(i-1, 1) + f(i-1, 3)
f(i, 3) = f(i-1, 2) + f(i-1, 4)
f(i, 4) = f(i-1, 3) + f(i-1, 5)
f(i, 5) = f(i-1, 4)
Tổng = f(n, 1) + f(n, 2) + f(n, 3) + f(n, 4) + f(n, 5)
Theorems
State Transition Method
Suitable Grade Level
Grades 11-12
Related Recommendation
Counting n-Digit Numbers with Consecutive Digits Differing by 1
Counting Numbers with n Digits in Set {1,2,3,4,5} with Consecutive Differences of 1
Counting Even Integers with Identical Hundreds Digit
Counting Odd Student ID Numbers with Three Digits - Mathematical Analysis
Ways to Form a Five-Digit Odd Number Using 1, 2, 3, 4, and 5