Для того чтобы найти количество шестизначных чисел, содержащих ровно 3 различные цифры, разобьём задачу на шаги:

1. Обозначим цифры: Пусть у нас есть три различные цифры $a$, $b$, $c$, которые составляют число. Эти цифры могут быть расположены на шести местах.

2. Рассмотрим возможные расположения цифр: Нам нужно распределить цифры $a$, $b$, и $c$ на шести местах так, чтобы хотя бы одна цифра была представлена больше одного раза. Возможные конфигурации распределения:

   • Одна цифра встречается три раза, вторая цифра — два раза, а третья цифра — один раз.
   • Одна цифра встречается четыре раза, вторая — один раз, и третья — один раз.

3. Подсчет количества способов для каждой конфигурации:

   1. Конфигурация (3, 2, 1): Выбираем, какая цифра будет встречаться три раза, какая два раза и какая один раз. Это количество комбинаций можно вычислить как: $\binom{6}{3, 2, 1} = \frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} = 60$ Число способов выбрать три цифры из десяти для этой конфигурации: $\binom{10}{3} = 120$ Число способов переставить три различные цифры между собой: $3! = 6$ Таким образом, общее количество чисел для конфигурации (3, 2, 1) составляет: $60 \cdot 120 \cdot 6 = 43200$

   2. Конфигурация (4, 1, 1): Аналогично, для этой конфигурации сначала выбираем четыре места для одной цифры: $\binom{6}{4, 1, 1} = \frac{6!}{4! \cdot 1! \cdot 1!} = 30$ Количество способов выбрать три цифры из десяти и их перестановки: $\binom{10}{3} = 120$ Число способов переставить цифры: $3! = 6$ Общее количество чисел для конфигурации (4, 1, 1) составляет: [ 30 \cdot 120 \cdot 6 = 21600