Сколько 6-значных чисел содержат ровно 3 различные цифры?

Для того чтобы найти количество шестизначных чисел, содержащих ровно 3 различные цифры, разобьём задачу на шаги:

1. **Обозначим цифры**: Пусть у нас есть три различные цифры \( a \), \( b \), \( c \), которые составляют число. Эти цифры могут быть расположены на шести местах.

2. **Рассмотрим возможные расположения цифр**: Нам нужно распределить цифры \( a \), \( b \), и \( c \) на шести местах так, чтобы хотя бы одна цифра была представлена больше одного раза. Возможные конфигурации распределения:

   - Одна цифра встречается три раза, вторая цифра — два раза, а третья цифра — один раз.
   - Одна цифра встречается четыре раза, вторая — один раз, и третья — один раз.

3. **Подсчет количества способов для каждой конфигурации**:

   1. **Конфигурация (3, 2, 1)**: Выбираем, какая цифра будет встречаться три раза, какая два раза и какая один раз. Это количество комбинаций можно вычислить как:
      \[
      \binom{6}{3, 2, 1} = \frac{6!}{3! \cdot 2! \cdot 1!} = 60
      \]
      Число способов выбрать три цифры из десяти для этой конфигурации:
      \[
      \binom{10}{3} = 120
      \]
      Число способов переставить три различные цифры между собой:
      \[
      3! = 6
      \]
      Таким образом, общее количество чисел для конфигурации (3, 2, 1) составляет:
      \[
      60 \cdot 120 \cdot 6 = 43200
      \]

   2. **Конфигурация (4, 1, 1)**: Аналогично, для этой конфигурации сначала выбираем четыре места для одной цифры:
      \[
      \binom{6}{4, 1, 1} = \frac{6!}{4! \cdot 1! \cdot 1!} = 30
      \]
      Количество способов выбрать три цифры из десяти и их перестановки:
      \[
      \binom{10}{3} = 120
      \]
      Число способов переставить цифры:
      \[
      3! = 6
      \]
      Общее количество чисел для конфигурации (4, 1, 1) составляет:
      \[
      30 \cdot 120 \cdot 6 = 21600
     

Learn how to calculate the number of 6-digit numbers containing exactly 3 different digits. This problem involves combinatorial counting using permutations and binomial coefficients. Suitable for high school students interested in combinatorics and permutations.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation