برای نشان دادن نادرستی هر کدام از این گزاره‌ها، مثال نقض می‌زنیم.

الف) گزاره: به ازای هر عدد طبیعی $n$، عبارت $n^2 + n + 41$ عددی اول است.

• مثال نقض: اگر $n = 40$ باشد، داریم: $n^2 + n + 41 = 40^2 + 40 + 41 = 1600 + 40 + 41 = 1681$ عدد $1681$ عدد اول نیست، زیرا برابر با $41^2$ است.

ب) گزاره: در هر مستطیل اندازه قطرها با هم برابر است.

• این گزاره درست است و مثال نقضی ندارد، زیرا در هر مستطیل به دلیل تقارن، اندازه قطرها همیشه برابر است.

پ) گزاره: برای هر دو عدد حقیقی $x$ و $y$ داریم $\left\vert x + y \right\vert = \left\vert x \right\vert + \left\vert y \right\vert$.

• مثال نقض: اگر $x = 1$ و $y = -2$ باشد، آنگاه: $\left\vert x + y \right\vert = \left\vert 1 - 2 \right\vert = \left\vert -1 \right\vert = 1$ و $\left\vert x \right\vert + \left\vert y \right\vert = \left\vert 1 \right\vert + \left\vert -2 \right\vert = 1 + 2 = 3$ پس $\left\vert x + y \right\vert \neq \left\vert x \right\vert + \left\vert y \right\vert$.

ت) گزاره: در هر مثلث، هر زاویه از مجموع دو زاویه کوچک‌تر است.

• مثال نقض: در یک مثلث متساوی‌الساقین با زاویه‌های $70^\circ$، $70^\circ$، و $40^\circ$ داریم که زاویه $70^\circ$ از جمع دو زاویه کوچک‌تر $70^\circ + 40^\circ = 110^\circ$ نیست، پس این گزاره نیز درست نیست.

آیا سوال دیگری دارید یا به توضیح بیشتری نیاز دارید؟

سوالات مرتبط:

1. چرا گزاره "برای هر عدد طبیعی $n$، عبارت $n^2 + n + 41$ عددی اول است" در حالت کلی درست نیست؟
2. اثبات کنید چرا قطرهای مستطیل همیشه با هم برابرند.
3. شرایط لازم برای برابری $\left\vert x + y \right\vert = \left\vert x \right\vert + \left\vert y \right\vert$ چیست؟
4. تفاوت مثلث‌های متساوی‌الساقین و متساوی‌الاضلاع در زوایا چیست؟
5. چه ویژگی‌هایی در مستطیل‌ها باعث برابری قطرها می‌شود؟

نکته: هنگام پیدا کردن مثال نقض، معمولاً از مقادیر خاصی برای بررسی سریع‌تر صحت گزاره استفاده کنید.