Давайте решим задачу, уточнив ключевые моменты:

Нам нужно найти количество подмножеств множества $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$, таких что максимальный элемент подмножества в два раза больше минимального элемента.

Обозначим минимальный элемент подмножества как $x$, а максимальный элемент как $2x$. Тогда подмножество должно содержать элементы от $x$ до $2x$, при этом $x$ и $2x$ должны быть обязательно включены в подмножество.

Шаг 1. Выбор возможных пар $(x, 2x)$

Для того чтобы $2x$ принадлежало множеству $S$, необходимо, чтобы $x$ было не более 5, потому что $2 \times 6 = 12$, а 12 выходит за пределы множества $S$.

Таким образом, возможные значения для $x$ — это 1, 2, 3, 4, 5, и для каждого $x$ существует соответствующий $2x$, который также должен быть в подмножестве.

Шаг 2. Подсчёт подмножеств

Для каждого выбранного $x$, подмножество может содержать любые элементы между $x$ и $2x$, включая $x$ и $2x$. Таким образом, количество элементов в подмножестве будет зависеть от того, какие элементы из интервала $\{x, x+1, \ldots, 2x\}$ будут выбраны.

• Если $x = 1$, то максимальный элемент $2x = 2$. Подмножество должно содержать 1 и 2. Возможные подмножества: $\{1, 2\}$.
• Если $x = 2$, то максимальный элемент $2x = 4$. Подмножество может содержать элементы $2, 3, 4$. Возможные подмножества: $\{2, 3, 4\}$.
• Если $x = 3$, то максимальный элемент $2x = 6$. Подмножество может содержать элементы $3, 4, 5, 6$. Возможные подмножества: $\{3, 4, 5, 6\}$.
• Если $x = 4$, то максимальный элемент $2x = 8$. Подмножество может содержать элементы $4, 5, 6, 7, 8$. Возможные подмножества: $\{4, 5, 6, 7, 8\}$.
• Если $x = 5$, то максимальный элемент $2x = 10$. Подмножество может содержать элементы $5, 6, 7, 8, 9, 10$. Возможные подмножества: $\{5, 6, 7, 8, 9, 10\}$.

Для каждого из этих случаев мы можем выбрать любые подмножества элементов, включая и исключая промежуточные элементы.

• Для $x = 1$, единственный вариант — это $\{1, 2\}$.
• Для $x = 2$, мы можем выбрать любые подмножества из $\{2, 3, 4\}$, что даёт $2^3 = 8$ подмножеств.
• Для $x = 3$, можем выбрать любые подмножества из $\{3, 4, 5, 6\}$, что даёт $2^4 = 16$ подмножеств.
• Для $x = 4$, можем выбрать любые подмножества из $\{4, 5, 6, 7, 8\}$, что даёт $2^5 = 32$ подмножества.
• Для $x = 5$, можем выбрать любые подмножества из $\{5, 6, 7, 8, 9, 10\}$, что даёт $2^6 = 64$ подмножества.

Шаг 3. Итоговый подсчёт

Теперь, чтобы найти общее количество таких подмножеств, нужно сложить количество подмножеств для каждого $x$:

$1 + 8 + 16 + 32 + 64 = 121$

Итак, существует 121 подмножество множества $S$, такое что максимальный элемент вдвое больше минимального.

Хотите разобраться подробнее или есть другие вопросы?

Дополнительные вопросы:

1. Как можно обобщить эту задачу для любых двух чисел в множестве?
2. Как рассчитать количество подмножеств, где минимальный элемент больше максимального вдвое?
3. Какие существуют другие типы задач на подсчёт подмножеств?
4. Какую роль играют степени двойки в подсчёте количества подмножеств?
5. Как изменится решение, если ограничить множество более узким диапазоном чисел?

Совет:

При решении задач на подсчёт подмножеств важно аккуратно подходить к выбору элементов и проверять возможные условия для максимума и минимума в подмножествах.