在四边形ABCD 中,对角线 AC 平分∠BAD，AB=21，AD=9，BC=CD=10，AC=？请用余弦定理列方程来解这个题目。

我们可以通过使用余弦定理来解决这个问题。

在四边形ABCD中，已知对角线AC平分∠BAD，AB=21，AD=9，BC=10，CD=10。我们需要找到对角线AC的长度。

首先，在△ABC中使用余弦定理：

\[ \cos \theta = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} \]

其中，\(\theta\)是∠BAC的一半。同样，在△ACD中使用余弦定理：

\[ \cos \theta = \frac{AD^2 + AC^2 - CD^2}{2 \cdot AD \cdot AC} \]

因为AC平分∠BAD，所以两个角θ相等，进而两个公式中的\(\cos \theta\)相等：

\[ \frac{21^2 + AC^2 - 10^2}{2 \cdot 21 \cdot AC} = \frac{9^2 + AC^2 - 10^2}{2 \cdot 9 \cdot AC} \]

将已知数据代入，得到：

\[ \frac{441 + AC^2 - 100}{42 \cdot AC} = \frac{81 + AC^2 - 100}{18 \cdot AC} \]

化简方程：

\[ \frac{341 + AC^2}{42 \cdot AC} = \frac{-19 + AC^2}{18 \cdot AC} \]

交叉相乘并整理：

\[ 18 \cdot (341 + AC^2) = 42 \cdot (-19 + AC^2) \]

\[ 6138 + 18AC^2 = -798 + 42AC^2 \]

整理并合并同类项：

\[ 6138 + 18AC^2 = -798 + 42AC^2 \]

\[ 6936 = 24AC^2 \]

\[ AC^2 = \frac{6936}{24} \]

\[ AC^2 = 289 \]

\[ AC = \sqrt{289} \]

\[ AC = 17 \]

所以，AC的长度为17。

如果有任何疑问或需要更详细的解释，请告诉我。

您还可以提出以下问题：
1. 如何证明AC平分∠BAD？
2. 如果已知∠BAD的角度，如何用三角函数来求AC？
3. 在四边形中，如何应用余弦定理求其它边的长度？
4. 是否可以用向量方法求解此题？
5. 如果四边形是任意形状，是否还有其它方法求解？

小贴士：在处理几何问题时，画图并标注已知和未知量可以帮助更好地理解和解决问题。

Learn how to use the cosine rule to find the length of diagonal AC in quadrilateral ABCD. Given AB = 21, AD = 9, BC = CD = 10, and that diagonal AC bisects ∠BAD. This problem involves applying trigonometric concepts and the cosine rule formula. Suitable for high school students.

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