Sebuah daerah di dalam bidang xy dibatasi oleh x + y = 6, x- y = 2 dan y = 0

a. Tentukanlah daerah ℝ di dalam uv ke dalam maka  ℝ dipetakan dibawah transformasi x = u + v, y = u - v.
b. Hitunglah atau 𝛿(x,y) per δ (u,v)

Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menguraikan satu per satu.

### **Bagian a: Tentukan daerah ℝ di dalam uv**
Kita diberikan bahwa daerah di bidang xy dibatasi oleh tiga garis:
- \( x + y = 6 \)
- \( x - y = 2 \)
- \( y = 0 \)

Dan kita juga diberikan transformasi berikut:
- \( x = u + v \)
- \( y = u - v \)

**Langkah-langkah:**
1. Substitusikan transformasi \( x = u + v \) dan \( y = u - v \) ke dalam persamaan batas.

   - Untuk \( x + y = 6 \):
     \[
     (u + v) + (u - v) = 6 \implies 2u = 6 \implies u = 3
     \]
   - Untuk \( x - y = 2 \):
     \[
     (u + v) - (u - v) = 2 \implies 2v = 2 \implies v = 1
     \]
   - Untuk \( y = 0 \):
     \[
     u - v = 0 \implies u = v
     \]

2. Berdasarkan ketiga persamaan ini, kita dapat menentukan daerah batas di bidang uv:

   - Dari \( u = 3 \) (dari batas \( x + y = 6 \)),
   - Dari \( v = 1 \) (dari batas \( x - y = 2 \)),
   - Dari \( u = v \) (dari batas \( y = 0 \)).

Jadi, daerah di bidang uv dibatasi oleh:
- Garis \( u = 3 \)
- Garis \( v = 1 \)
- Garis \( u = v \)

Daerah ini merupakan sebuah segitiga di bidang uv dengan titik-titik pertemuan (3,1), (3,3), dan (1,1).

### **Bagian b: Hitung \( \frac{\delta(x,y)}{\delta(u,v)} \)**

Untuk menghitung Jacobian dari transformasi \( (x, y) \) ke \( (u, v) \), kita perlu menentukan matriks Jacobian dari transformasi \( x = u + v \) dan \( y = u - v \).

Matriks Jacobian \( J \) didefinisikan sebagai:

\[
J = \begin{pmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\
\frac{\partial y}{

Sebuah daerah di dalam bidang xy dibatasi oleh x + y = 6, x - y = 2 dan y = 0

a. Tentukanlah daerah ℝ di dalam uv ke dalam maka ℝ dipetakan dibawah transformasi x = u + v, y = u - v.
b. Hitunglah atau 𝛿(x,y) per δ(u,v)

Solve the transformation problem of a region in xy-plane bounded by x + y = 6, x - y = 2, and y = 0, under the transformation x = u + v, y = u - v. This solution includes calculating the Jacobian determinant. Suitable for undergraduate students studying linear algebra and transformations.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation