Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menguraikan satu per satu.

Bagian a: Tentukan daerah ℝ di dalam uv

Kita diberikan bahwa daerah di bidang xy dibatasi oleh tiga garis:

• $x + y = 6$
• $x - y = 2$
• $y = 0$

Dan kita juga diberikan transformasi berikut:

• $x = u + v$
• $y = u - v$

Langkah-langkah:

1. Substitusikan transformasi $x = u + v$ dan $y = u - v$ ke dalam persamaan batas.

   • Untuk $x + y = 6$: $(u + v) + (u - v) = 6 \implies 2u = 6 \implies u = 3$
   • Untuk $x - y = 2$: $(u + v) - (u - v) = 2 \implies 2v = 2 \implies v = 1$
   • Untuk $y = 0$: $u - v = 0 \implies u = v$

2. Berdasarkan ketiga persamaan ini, kita dapat menentukan daerah batas di bidang uv:

   • Dari $u = 3$ (dari batas $x + y = 6$),
   • Dari $v = 1$ (dari batas $x - y = 2$),
   • Dari $u = v$ (dari batas $y = 0$).

Jadi, daerah di bidang uv dibatasi oleh:

• Garis $u = 3$
• Garis $v = 1$
• Garis $u = v$

Daerah ini merupakan sebuah segitiga di bidang uv dengan titik-titik pertemuan (3,1), (3,3), dan (1,1).

Bagian b: Hitung $\frac{\delta(x,y)}{\delta(u,v)}$

Untuk menghitung Jacobian dari transformasi $(x, y)$ ke $(u, v)$, kita perlu menentukan matriks Jacobian dari transformasi $x = u + v$ dan $y = u - v$.

Matriks Jacobian $J$ didefinisikan sebagai:

[ J = \begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \ \frac{\partial y}{