Math Problem Statement
преобразуй в квадратичную форму м( x^{2}-2 x y+y^{2}+2 \sqrt{2} x+\sqrt{2} y=0 ).
Solution
Чтобы преобразовать выражение в квадратичную форму, мы проведем несколько шагов. Давайте разберем это поэтапно.
Шаг 1: Представление в матричной форме
Для начала представим исходное уравнение в виде квадратичной формы. Общая форма квадратичного уравнения для переменных и выглядит так:
\begin{pmatrix} A & B \\ B & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} D & E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + F = 0$$ В нашем случае у нас есть следующие элементы: - $$x^2 - 2xy + y^2$$ представляет квадратичные члены. - $$2\sqrt{2}x + \sqrt{2}y$$ — это линейные члены. - $$0$$ — это свободный член. Теперь запишем все в виде матричного представления. ### Шаг 2: Составление матрицы и вектора Из коэффициентов уравнения можно выделить матрицу для квадратичных членов и вектор для линейных: - Квадратичные члены: - $$x^2$$ — коэффициент $$1$$, - $$y^2$$ — коэффициент $$1$$, - $$-2xy$$ — коэффициент $$-1$$ для $$x$$ и $$y$$ (этот коэффициент делится пополам для симметричной матрицы). Получаем квадратичную матрицу: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ - Линейные члены: - $$2\sqrt{2}x$$ — коэффициент $$2\sqrt{2}$$, - $$\sqrt{2}y$$ — коэффициент $$\sqrt{2}$$. Линейный вектор: $$b = \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}$$ ### Шаг 3: Приведение к стандартной квадратичной форме Теперь перепишем уравнение в более удобном виде: $$\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0$$ Это выражение уже представляет собой квадратичную форму для данного уравнения. ### Ответ: Квадратичная форма для уравнения $$x^2 - 2xy + y^2 + 2\sqrt{2}x + \sqrt{2}y = 0$$ выглядит так: $$\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0$$ Если вам нужно продолжить анализ, например, найти оси симметрии или преобразовать эту форму в каноническую, сообщите мне! ### Вопросы для расширения: 1. Как найти каноническую форму квадратичного уравнения? 2. Как вычислить собственные значения и собственные векторы матрицы для квадратичного уравнения? 3. Как определить, является ли эта квадратичная форма эллипсом, гиперболой или параболой? 4. Как выполнить сдвиг координат для упрощения уравнения? 5. Что такое матрица Гессе и как она используется в квадратичных формах? ### Совет: При работе с квадратичными уравнениями важно помнить о симметричности матрицы и ее свойствах, что позволяет легко находить эквивалентные формы и проводить преобразования.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Quadratic Equations
Matrix Representation
Symmetric Matrices
Formulas
Quadratic form Q(x, y) = (x y) * A * (x y)^T + b * (x y)^T + F = 0
Theorems
Matrix representation of quadratic equations
Symmetric matrices in quadratic forms
Suitable Grade Level
Grades 10-12
Related Recommendation
Solving the Quadratic Equation x^2 - 2xy + y^2 + 2√2x + √2y = 0
Matrix Form of the Quadratic Equation 3x^2 + 5y^2 + 3z^2 - 2yz + 2zx - 2xy
Orthogonal Transformation to Canonical Form of Quadratic Form -x^2 - y^2 - 2xy - 4x + 6y + 1 = 0
Solving the Equation x^2 + xy + y^2 = 6: Algebraic Techniques & Implicit Differentiation
Reducing the Equation 4x² + 4xy + y² - 12x - 6y + 5 to Canonical Form