Math Problem Statement

преобразуй в квадратичную форму м( x^{2}-2 x y+y^{2}+2 \sqrt{2} x+\sqrt{2} y=0 ).

Solution

Чтобы преобразовать выражение x22xy+y2+22x+2y=0x^2 - 2xy + y^2 + 2\sqrt{2}x + \sqrt{2}y = 0 в квадратичную форму, мы проведем несколько шагов. Давайте разберем это поэтапно.

Шаг 1: Представление в матричной форме

Для начала представим исходное уравнение в виде квадратичной формы. Общая форма квадратичного уравнения для переменных xx и yy выглядит так:

\begin{pmatrix} A & B \\ B & C \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} D & E \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + F = 0$$ В нашем случае у нас есть следующие элементы: - $$x^2 - 2xy + y^2$$ представляет квадратичные члены. - $$2\sqrt{2}x + \sqrt{2}y$$ — это линейные члены. - $$0$$ — это свободный член. Теперь запишем все в виде матричного представления. ### Шаг 2: Составление матрицы и вектора Из коэффициентов уравнения можно выделить матрицу для квадратичных членов и вектор для линейных: - Квадратичные члены: - $$x^2$$ — коэффициент $$1$$, - $$y^2$$ — коэффициент $$1$$, - $$-2xy$$ — коэффициент $$-1$$ для $$x$$ и $$y$$ (этот коэффициент делится пополам для симметричной матрицы). Получаем квадратичную матрицу: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ - Линейные члены: - $$2\sqrt{2}x$$ — коэффициент $$2\sqrt{2}$$, - $$\sqrt{2}y$$ — коэффициент $$\sqrt{2}$$. Линейный вектор: $$b = \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{pmatrix}$$ ### Шаг 3: Приведение к стандартной квадратичной форме Теперь перепишем уравнение в более удобном виде: $$\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0$$ Это выражение уже представляет собой квадратичную форму для данного уравнения. ### Ответ: Квадратичная форма для уравнения $$x^2 - 2xy + y^2 + 2\sqrt{2}x + \sqrt{2}y = 0$$ выглядит так: $$\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2\sqrt{2} \\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0$$ Если вам нужно продолжить анализ, например, найти оси симметрии или преобразовать эту форму в каноническую, сообщите мне! ### Вопросы для расширения: 1. Как найти каноническую форму квадратичного уравнения? 2. Как вычислить собственные значения и собственные векторы матрицы для квадратичного уравнения? 3. Как определить, является ли эта квадратичная форма эллипсом, гиперболой или параболой? 4. Как выполнить сдвиг координат для упрощения уравнения? 5. Что такое матрица Гессе и как она используется в квадратичных формах? ### Совет: При работе с квадратичными уравнениями важно помнить о симметричности матрицы и ее свойствах, что позволяет легко находить эквивалентные формы и проводить преобразования.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Quadratic Equations
Matrix Representation
Symmetric Matrices

Formulas

Quadratic form Q(x, y) = (x y) * A * (x y)^T + b * (x y)^T + F = 0

Theorems

Matrix representation of quadratic equations
Symmetric matrices in quadratic forms

Suitable Grade Level

Grades 10-12