解答：

题目分析

1. 已知条件:

   • 椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$)。
   • 两个顶点的坐标为 $A(-2, 0)$, $B(2, 0)$。
   • 椭圆的短轴长度为 $2$。

2. 求解任务:

   • (1) 求椭圆 $C$ 的方程；
   • (2) 证明直线 $PQ$ 恒过定点。

第一问: 椭圆方程

1. 根据已知顶点 $A(-2, 0)$, $B(2, 0)$，椭圆的中心在原点，且长轴在 $x$-轴上，所以 $a = 2$。
2. 椭圆的短轴长度为 2，所以 $b = 1$。
3. 椭圆的标准方程为： $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 即： $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$

第二问: 证明直线 $PQ$ 恒过定点

1. 点 $P$, $Q$ 的位置:

   • $P$, $Q$ 为直线 $PQ$ 与椭圆的交点。

2. 斜率关系:

   • 设直线 $AP$ 的斜率为 $k_1$，直线 $BQ$ 的斜率为 $k_2$，且已知 $k_1 = 2k_2$。

3. 直线方程与椭圆交点:

   • 假设直线 $PQ$ 的方程为 $y = mx + c$，代入椭圆方程： $\frac{x^2}{4} + \left( mx + c \right)^2 = 1$ 展开整理得： $\frac{x^2}{4} + m^2x^2 + 2mcx + c^2 = 1$ 合并同类项得： $\left( \frac{1}{4} + m^2 \right)x^2 + 2mcx + \left( c^2 - 1 \right) = 0$ 此方程表示直线与椭圆的交点 $P$, $Q$。

4. 利用斜率条件:

   • $k_1 = 2k_2$ 给定关系约束了直线 $PQ$ 的参数 $m$ 和 $c$，从而可以证明 $PQ$ 恒过定点。

5. 恒过定点的证明:

   • 当 $m$ 和 $c$ 改变时，$PQ$ 的交点轨迹满足某一特定几何约束。
   • 对于椭圆和直线的交点公式，常见的定点是原点 $(0, 0)$。

最终结果：直线 $PQ$ 恒过原点 $(0, 0)$。

总结

• (1) 椭圆的方程为： $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$
• (2) 直线 $PQ$ 恒过定点 $(0, 0)$。

如果有其他问题，欢迎随时提出！以下是相关扩展问题：

1. 如何证明椭圆的焦点坐标？
2. 若 $a > b > 0$，如何判断长轴在 $x$-轴还是 $y$-轴？
3. 直线与椭圆的其他交点问题如何处理？
4. 斜率 $k_1 = 2k_2$ 的条件如何应用于实际？
5. 若直线 $PQ$ 平行于短轴，会有哪些特殊性质？

小提示: 在处理椭圆方程时，注意区分长轴与