En ellips med ekvationen xˆ2/4+yˆ2/9=1  och en rät linje med ekvationen y=−1/2x+3 skär varandra i två punkter.
 a) Bestäm ellipsens mittpunkt, stora och lilla axlar, och rita därefter ellipsen och linjen i ett koordinatsystem. 
 b) Beräkna exakt skärningspunkterna mellan ellipsen och den räta linjen.

Låt oss börja med att analysera och lösa uppgiften steg för steg.

### Del a) Ellipsens mittpunkt, stora och lilla axlar

Ellipsens ekvation är:
\[
\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1
\]
Denna ekvation är på standardformen för en ellips:
\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\]
där \(a\) och \(b\) anger halva längderna av ellipsens axlar:
- **Stora axeln** är \(2b\),
- **Lilla axeln** är \(2a\),
om \(b > a\).

#### Bestämning av mittpunkten och axlarna:
1. **Mittpunkten** för ellipsen är vid origo, \((0, 0)\), eftersom ekvationen är centrerad där.
2. Här är \(a^2 = 4\), vilket ger \(a = 2\).
3. Och \(b^2 = 9\), vilket ger \(b = 3\).

Alltså:
- **Stora axeln** är \(2b = 2 \cdot 3 = 6\).
- **Lilla axeln** är \(2a = 2 \cdot 2 = 4\).

#### Illustration:
För att illustrera ellipsen och den räta linjen \(y = -\frac{1}{2}x + 3\), ska vi rita ett koordinatsystem med ellipsen som har sin stora axel längs \(y\)-axeln (från \(-3\) till \(3\)) och lilla axeln längs \(x\)-axeln (från \(-2\) till \(2\)), tillsammans med linjen som lutar negativt och skär \(y\)-axeln vid \(y = 3\).

Jag kan rita detta åt dig om du vill. Vill du att jag ska skapa en illustration av ellipsen och linjen i koordinatsystemet?

---

### Del b) Beräkna skärningspunkterna

Vi hittar skärningspunkterna genom att lösa systemet av ekvationer:
1. \(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1\) (ellipsen)
2. \(y = -\frac{1}{2}x + 3\) (linjen)

#### Steg:
1. Sätt in uttrycket för \(y\) från linjens ekvation i ellipsens ekvation:
   \[
   \frac{x^2}{4} + \frac{\left(-\frac{1}{2}x + 3\right)^2}{9} = 1
   \]

2. Expandera \(\left(-\frac{1}{2}x + 3\right)^2\):
   \[
   \left(-\frac{1}{2}x + 3\right)^2 = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 9
   \]
   Sätt detta tillbaka i ellipsens ekvation:
   \[
   \frac{x^2}{4} + \frac{\frac{1}{4}x^2 - 3x + 9}{9} = 1
   \]

3. Förenkla och lös för \(x\) genom att samla termer och lösa den resulterande kvadratiska ekvationen.

En ellips med ekvationen x^2/4 + y^2/9 = 1 och en rät linje med ekvationen y = −1/2x + 3 skär varandra i två punkter. a) Bestäm ellipsens mittpunkt, stora och lilla axlar, och rita därefter ellipsen och linjen i ett koordinatsystem. b) Beräkna exakt skärningspunkterna mellan ellipsen och den räta linjen.

Learn to solve for the intersection of an ellipse (x^2/4 + y^2/9 = 1) and a line (y = −1/2x + 3) by identifying the ellipse's center, major and minor axes, and calculating the exact intersection points. This problem covers analytic geometry concepts and is suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation