Låt oss börja med att analysera och lösa uppgiften steg för steg.

Del a) Ellipsens mittpunkt, stora och lilla axlar

Ellipsens ekvation är: $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ Denna ekvation är på standardformen för en ellips: $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ där $a$ och $b$ anger halva längderna av ellipsens axlar:

• Stora axeln är $2b$,
• Lilla axeln är $2a$, om $b > a$.

Bestämning av mittpunkten och axlarna:

1. Mittpunkten för ellipsen är vid origo, $(0, 0)$, eftersom ekvationen är centrerad där.
2. Här är $a^2 = 4$, vilket ger $a = 2$.
3. Och $b^2 = 9$, vilket ger $b = 3$.

Alltså:

• Stora axeln är $2b = 2 \cdot 3 = 6$.
• Lilla axeln är $2a = 2 \cdot 2 = 4$.

Illustration:

För att illustrera ellipsen och den räta linjen $y = -\frac{1}{2}x + 3$, ska vi rita ett koordinatsystem med ellipsen som har sin stora axel längs $y$-axeln (från $-3$ till $3$) och lilla axeln längs $x$-axeln (från $-2$ till $2$), tillsammans med linjen som lutar negativt och skär $y$-axeln vid $y = 3$.

Jag kan rita detta åt dig om du vill. Vill du att jag ska skapa en illustration av ellipsen och linjen i koordinatsystemet?

---

Del b) Beräkna skärningspunkterna

Vi hittar skärningspunkterna genom att lösa systemet av ekvationer:

1. $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ (ellipsen)
2. $y = -\frac{1}{2}x + 3$ (linjen)

Steg:

1. Sätt in uttrycket för $y$ från linjens ekvation i ellipsens ekvation: $\frac{x^2}{4} + \frac{\left(-\frac{1}{2}x + 3\right)^2}{9} = 1$

2. Expandera $\left(-\frac{1}{2}x + 3\right)^2$: $\left(-\frac{1}{2}x + 3\right)^2 = \frac{1}{4}x^2 - 3x + 9$ Sätt detta tillbaka i ellipsens ekvation: $\frac{x^2}{4} + \frac{\frac{1}{4}x^2 - 3x + 9}{9} = 1$

3. Förenkla och lös för $x$ genom att samla termer och lösa den resulterande kvadratiska ekvationen.