Math Problem Statement
La série ∑n=1,+ ∞ converge et est égale à π^2/6 a) Montrez que la série ∑n=1,+ ∞ 1/(2n)^2 converge et calculez sa somme .
Solution
Nous avons l'énoncé suivant :
La série converge et est égale à .
Nous devons maintenant étudier la série suivante :
1. Convergence de la série
La série donnée est une somme infinie dont les termes sont de la forme . Nous allons analyser cette série par rapport à la série de base , qui est connue pour converger vers .
2. Expression de la série donnée
On peut réécrire chaque terme de la série comme suit :
La série devient donc :
Cela revient à factoriser en dehors de la somme :
3. Calcul de la somme
Nous savons que la série converge et est égale à . Par conséquent :
Conclusion
La série converge et sa somme est égale à :
Souhaitez-vous des explications supplémentaires sur un point particulier ou avez-vous d'autres questions ? Voici quelques suggestions pour approfondir :
- Pourquoi la série converge-t-elle vers ?
- Comment peut-on démontrer la convergence de séries similaires ?
- Quelle est l'influence du facteur sur la somme ?
- Peut-on généraliser cette méthode pour d'autres séries de la forme ?
- Quelles sont les méthodes courantes pour calculer la somme de séries infinies ?
Astuce : Si vous rencontrez une série qui ressemble à une série p, vous pouvez souvent utiliser des résultats connus sur les séries p pour obtenir sa somme rapidement.
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Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Infinite Series
Convergence
Summation
Formulas
∑n=1,+∞ 1/n^2 = π^2/6
∑n=1,+∞ 1/(2n)^2 = π^2/24
Theorems
Convergence of p-series
Factorization of series
Suitable Grade Level
Grades 11-12