La série ∑n=1,+ ∞ converge et est égale à π^2/6
a)	Montrez que la série ∑n=1,+ ∞ 1/(2n)^2 converge et calculez sa somme .


Nous avons l'énoncé suivant : 

La série \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}\) converge et est égale à \(\frac{\pi^2}{6}\).

Nous devons maintenant étudier la série suivante :

\[
S = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(2n)^2}
\]

### 1. Convergence de la série

La série donnée est une somme infinie dont les termes sont de la forme \(\frac{1}{(2n)^2}\). Nous allons analyser cette série par rapport à la série de base \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}\), qui est connue pour converger vers \(\frac{\pi^2}{6}\).

### 2. Expression de la série donnée

On peut réécrire chaque terme de la série comme suit :

\[
\frac{1}{(2n)^2} = \frac{1}{4n^2}
\]

La série devient donc :

\[
S = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(2n)^2} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{4n^2}
\]

Cela revient à factoriser \( \frac{1}{4} \) en dehors de la somme :

\[
S = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}
\]

### 3. Calcul de la somme

Nous savons que la série \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}\) converge et est égale à \(\frac{\pi^2}{6}\). Par conséquent :

\[
S = \frac{1}{4} \times \frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{24}
\]

### Conclusion

La série \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(2n)^2}\) converge et sa somme est égale à :

\[
S = \frac{\pi^2}{24}
\]

---

Souhaitez-vous des explications supplémentaires sur un point particulier ou avez-vous d'autres questions ? Voici quelques suggestions pour approfondir :

1. Pourquoi la série \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}\) converge-t-elle vers \(\frac{\pi^2}{6}\) ?
2. Comment peut-on démontrer la convergence de séries similaires ?
3. Quelle est l'influence du facteur \(1/4\) sur la somme ?
4. Peut-on généraliser cette méthode pour d'autres séries de la forme \(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(an)^2}\) ?
5. Quelles sont les méthodes courantes pour calculer la somme de séries infinies ?

**Astuce** : Si vous rencontrez une série qui ressemble à une série p, vous pouvez souvent utiliser des résultats connus sur les séries p pour obtenir sa somme rapidement.

La série ∑n=1,+ ∞ converge et est égale à π^2/6 a) Montrez que la série ∑n=1,+ ∞ 1/(2n)^2 converge et calculez sa somme.

Learn how to prove the convergence of the series ∑n=1,+∞ 1/(2n)^2 and calculate its sum. This problem uses key concepts such as the convergence of infinite series and the use of factorization for calculating sums. The sum of this series is π^2/24. Suitable for advanced high school students (Grades 11-12).

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