Math Problem Statement

La série ∑n=1,+ ∞ converge et est égale à π^2/6 a) Montrez que la série ∑n=1,+ ∞ 1/(2n)^2 converge et calculez sa somme .

Solution

Nous avons l'énoncé suivant :

La série n=1+1n2\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} converge et est égale à π26\frac{\pi^2}{6}.

Nous devons maintenant étudier la série suivante :

S=n=1+1(2n)2S = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(2n)^2}

1. Convergence de la série

La série donnée est une somme infinie dont les termes sont de la forme 1(2n)2\frac{1}{(2n)^2}. Nous allons analyser cette série par rapport à la série de base n=1+1n2\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}, qui est connue pour converger vers π26\frac{\pi^2}{6}.

2. Expression de la série donnée

On peut réécrire chaque terme de la série comme suit :

1(2n)2=14n2\frac{1}{(2n)^2} = \frac{1}{4n^2}

La série devient donc :

S=n=1+1(2n)2=n=1+14n2S = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(2n)^2} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{4n^2}

Cela revient à factoriser 14\frac{1}{4} en dehors de la somme :

S=14n=1+1n2S = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}

3. Calcul de la somme

Nous savons que la série n=1+1n2\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} converge et est égale à π26\frac{\pi^2}{6}. Par conséquent :

S=14×π26=π224S = \frac{1}{4} \times \frac{\pi^2}{6} = \frac{\pi^2}{24}

Conclusion

La série n=1+1(2n)2\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(2n)^2} converge et sa somme est égale à :

S=π224S = \frac{\pi^2}{24}


Souhaitez-vous des explications supplémentaires sur un point particulier ou avez-vous d'autres questions ? Voici quelques suggestions pour approfondir :

  1. Pourquoi la série n=1+1n2\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} converge-t-elle vers π26\frac{\pi^2}{6} ?
  2. Comment peut-on démontrer la convergence de séries similaires ?
  3. Quelle est l'influence du facteur 1/41/4 sur la somme ?
  4. Peut-on généraliser cette méthode pour d'autres séries de la forme n=1+1(an)2\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(an)^2} ?
  5. Quelles sont les méthodes courantes pour calculer la somme de séries infinies ?

Astuce : Si vous rencontrez une série qui ressemble à une série p, vous pouvez souvent utiliser des résultats connus sur les séries p pour obtenir sa somme rapidement.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Infinite Series
Convergence
Summation

Formulas

∑n=1,+∞ 1/n^2 = π^2/6
∑n=1,+∞ 1/(2n)^2 = π^2/24

Theorems

Convergence of p-series
Factorization of series

Suitable Grade Level

Grades 11-12