∑ 𝑛

Du frågar om konvergensen av serien:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$

Denna serie är en välkänd serie inom matematiken och kallas för Baselsumma. Det är en p-series där exponenten $p = 2$.

För att undersöka om serien konvergerar, kan vi använda en standardtest som kallas för p-serietestet. Om serien är på formen:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$

där $p > 1$, så konvergerar serien. Eftersom $p = 2$ här, så konvergerar serien definitivt.

Summa för denna serie:

Den exakta summan av denna serie är också känd och är:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$

Detta resultat upptäcktes av den italienske matematikern Leonhard Euler på 1700-talet.

Sammanfattning:

Serien konvergerar mot $\frac{\pi^2}{6}$.

Vill du ha mer detaljer om hur detta bevisas eller kanske om liknande serier?

Relaterade frågor:

1. Vad är en p-serie och hur kan vi generalisera den för andra värden av $p$?
2. Hur beräknade Euler summan $\frac{\pi^2}{6}$ för denna serie?
3. Hur påverkar värdet på $p$ konvergensen i en p-serie?
4. Vad är den konvergenshastigheten för serier som denna?
5. Hur kan man använda numeriska metoder för att approximera summor av serier som denna?

Tips:

När du arbetar med serier, särskilt p-serier, är det viktigt att känna till testet för konvergens (som p-serietestet) för att snabbt kunna avgöra om en serie konvergerar eller divergerar.