Math Problem Statement

Avg ̈or om serierna ̈ar diver- genta eller konvergenta. Anv ̈and l ̈ampligt test. ∞X n=1 1 ln(n)3

Solution

För att undersöka om serien

n=11ln(n)3\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln(n)^3}

är konvergent eller divergent, kan vi använda integraltestet, som är ett vanligt verktyg för att analysera serier av den här typen.

Steg 1: Definiera funktionen som representerar den givna serien

Serien är av formen n=1f(n)\sum_{n=1}^{\infty} f(n), där f(n)=1ln(n)3f(n) = \frac{1}{\ln(n)^3}. För att applicera integraltestet behöver vi definiera en motsvarande funktion f(x)=1ln(x)3f(x) = \frac{1}{\ln(x)^3}, där x2x \geq 2 (eftersom ln(x)\ln(x) är definierat för x>1x > 1).

Steg 2: Använd integraltestet

Integraltestet säger att om den oberoende funktionen f(x)f(x) är positiv, kontinuerlig och avtagande för x2x \geq 2, och om integralen

2f(x)dx\int_2^\infty f(x) \, dx

konvergerar eller divergerar, så gör även serien det.

Steg 3: Beräkna integralen

För att undersöka om serien konvergerar eller divergerar, beräknar vi integralen:

21ln(x)3dx\int_2^\infty \frac{1}{\ln(x)^3} \, dx

Det är svårt att lösa denna integral exakt, men vi kan använda en substitution för att få en bättre uppfattning om dess beteende.

Låt u=ln(x)u = \ln(x), vilket innebär att du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx. Därmed förändras gränserna för integralen:

  • När x=2x = 2, u=ln(2)u = \ln(2).
  • När xx \to \infty, uu \to \infty.

Därmed omformas integralen till:

ln(2)1u3du\int_{\ln(2)}^\infty \frac{1}{u^3} du

Steg 4: Lösa integralen

Integralen av 1u3\frac{1}{u^3} är:

1u3du=12u2\int \frac{1}{u^3} du = \frac{-1}{2u^2}

Så vi får:

[12u2]ln(2)=0(12(ln(2))2)\left[ \frac{-1}{2u^2} \right]_{\ln(2)}^\infty = 0 - \left( \frac{-1}{2(\ln(2))^2} \right)

Detta ger oss:

12(ln(2))2\frac{1}{2(\ln(2))^2}

Eftersom detta är ett positivt värde, innebär det att integralen konvergerar.

Slutsats

Eftersom integralen konvergerar, konvergerar även serien enligt integraltestet. Därmed är serien

n=11ln(n)3\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln(n)^3}

konvergent.


Vill du ha mer detaljer om testet eller hur man tillämpar andra tester på denna typ av serie?

Relaterade frågor:

  1. Hur används integraltestet för att avgöra konvergens för andra serier?
  2. Vad är p-testet och när kan det tillämpas på serier?
  3. Hur kan man använda kompareringstestet för att analysera serier?
  4. Vad innebär det att en funktion är avtagande och positiv i kontexten av test för konvergens?
  5. Kan du ge exempel på serier som är divergent via integraltestet?

Tip: När du använder integraltestet, se till att funktionen är positiv, kontinuerlig och avtagande för att garantera att testet är giltigt.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Series and Sequences
Integral Test
Logarithmic Functions

Formulas

Integral Test: ∫f(x) dx to determine series behavior
Substitution: u = ln(x)

Theorems

Integral Test Theorem

Suitable Grade Level

Grades 11-12 or University Level