Math Problem Statement
Avg ̈or om serierna ̈ar diver- genta eller konvergenta. Anv ̈and l ̈ampligt test. ∞X n=1 1 ln(n)3
Solution
För att undersöka om serien
är konvergent eller divergent, kan vi använda integraltestet, som är ett vanligt verktyg för att analysera serier av den här typen.
Steg 1: Definiera funktionen som representerar den givna serien
Serien är av formen , där . För att applicera integraltestet behöver vi definiera en motsvarande funktion , där (eftersom är definierat för ).
Steg 2: Använd integraltestet
Integraltestet säger att om den oberoende funktionen är positiv, kontinuerlig och avtagande för , och om integralen
konvergerar eller divergerar, så gör även serien det.
Steg 3: Beräkna integralen
För att undersöka om serien konvergerar eller divergerar, beräknar vi integralen:
Det är svårt att lösa denna integral exakt, men vi kan använda en substitution för att få en bättre uppfattning om dess beteende.
Låt , vilket innebär att . Därmed förändras gränserna för integralen:
- När , .
- När , .
Därmed omformas integralen till:
Steg 4: Lösa integralen
Integralen av är:
Så vi får:
Detta ger oss:
Eftersom detta är ett positivt värde, innebär det att integralen konvergerar.
Slutsats
Eftersom integralen konvergerar, konvergerar även serien enligt integraltestet. Därmed är serien
konvergent.
Vill du ha mer detaljer om testet eller hur man tillämpar andra tester på denna typ av serie?
Relaterade frågor:
- Hur används integraltestet för att avgöra konvergens för andra serier?
- Vad är p-testet och när kan det tillämpas på serier?
- Hur kan man använda kompareringstestet för att analysera serier?
- Vad innebär det att en funktion är avtagande och positiv i kontexten av test för konvergens?
- Kan du ge exempel på serier som är divergent via integraltestet?
Tip: När du använder integraltestet, se till att funktionen är positiv, kontinuerlig och avtagande för att garantera att testet är giltigt.
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Series and Sequences
Integral Test
Logarithmic Functions
Formulas
Integral Test: ∫f(x) dx to determine series behavior
Substitution: u = ln(x)
Theorems
Integral Test Theorem
Suitable Grade Level
Grades 11-12 or University Level
Related Recommendation
Convergence of Series Using the Integral Test: \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^3} \)
Convergence of the Series Sum of 3/(n * ln(n))
Study the Nature of Series: Convergence or Divergence of \sum_{n \geq 2} \frac{1}{\ln n}
Convergence Analysis of Series \(\sum \frac{k \ln k}{(k+1)^3}\)
Convergence of the Series ∑ 1/(ln n)^2 from n=2 to ∞