Исследуем числовой ряд:
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{2n+1}}.$

1. Исследование на сходимость (условную или абсолютную)

Абсолютная сходимость

Для исследования на абсолютную сходимость рассмотрим ряд из модулей его членов: $\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{2n+1}} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2n+1}}.$ Этот ряд является несобственным интегралом вида $\int \frac{1}{\sqrt{2x+1}} dx$, который расходится. Таким образом, ряд не сходится абсолютно.

Условная сходимость

Теперь исследуем данный ряд с помощью признака Лейбница для знакопеременных рядов:

1. Члены ряда стремятся к нулю: $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{2n+1}} = 0.$

2. Монотонность убывания модуля членов: Функция $\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$ убывает с увеличением $n$, так как знаменатель возрастает.

Обе части признака Лейбница выполняются, поэтому ряд сходится условно.

---

Ответ

Числовой ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{2n+1}}$ сходится условно, но не сходится абсолютно.

---

Желаете разобрать этот пример подробнее или есть вопросы?

Вот 5 вопросов для развития темы:

1. Что такое признак Лейбница, и когда он применяется?
2. Как доказать, что $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$ расходится?
3. Какие существуют основные критерии сходимости числовых рядов?
4. Чем отличается абсолютная и условная сходимость ряда?
5. Можно ли оценить скорость сходимости данного ряда?

Совет: Знакомьтесь с интегральным признаком для оценки сходимости рядов, он полезен при работе с положительными рядами.